Gli albori

Pubblicazione (poco) periodica con problemi olimpici di allenamento.

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Marco
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Gli albori

Messaggioda Marco » 01 apr 2005, 08:27

Ciao. Quella che segue è una chicca rara. Si tratta del primissimo invio dei problemi di allenamento dell'allora neonato Gruppo Tutor. Correva l'anno 1996. Enjoy.

M.

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1. Dimostrare che in un triangolo non ottusangolo, il perimetro è sempre maggiore del doppio del diametro della circonferenza circoscritta.

2. Un certo numero di scuole prende parte ad un torneo di tennis. Due giocatori della stessa scuola non giocano mai l'uno contro l'altro, mentre due partecipanti di scuole diverse giocano esattemente una partita. Una partita tra due ragazzi o due ragazze è detta un "singolo", e quella tra un ragazzo ed una ragazza è un "singolo misto". Il numero totale di ragazzi differisce dal totale delle ragazze al massimo di 1. Il numero totale dei singoli differisce dal numero dei singoli misti al massimo di 1. Qual è il massimo numero di scuole rappresentate al torneo da un numero dispari di giocatori?

3. Provare che la successione [tex]\mathrm{Im} z_n[/tex], dove

[tex] z_n = (1+i)(2+i) \cdots (n+i) [/tex]

contiene infiniti numeri positivi ed infiniti numeri negativi.

4. E' data una circonferenza. Su di essa è fissato un punto A ed al suo interno è fissato il punto D. Consideriamo una corda arbitraria BC che contiene D. Sia M il baricentro di ABC. Qual è il luogo descritto da M al variare di BC?

5. Tutte le facce di un poliedro convesso sono parallelogrammi. Tale poliedro può avere 1992 facce?

6. Trovare tutte le funzioni [tex]f: \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z[/tex] tali che [tex]f(-1) = f(1)[/tex] e

[tex] f(x) + f(y) = f(x + 2 xy) + f(y - 2xy)[/tex]

per ogni [tex]x,y[/tex] in [tex]\mathbb Z[/tex].
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

MindFlyer

Messaggioda MindFlyer » 01 apr 2005, 11:23

*sbav sbav!*
Grazie, Marchino!

Riguardo il problema 5, io direi di no perché 1992 non è nella forma n(n+1).
Ma se ti ricordi, tu avevi proposto il problema più generale di trovare il massimo numero di facce di questi poliedri, e tutto ciò che siamo riusciti a fare è stato escludere qualche caso e dimostrare che 30 andava bene.
Non ti ricordi qual era la soluzione completa??

Marco_1

Messaggioda Marco_1 » 01 apr 2005, 11:54

Certo, che me la ricordo.

Ma non la svendo per niente: voglio in cambio le Cortone/Pise/whatever degli anni >= 1999.

Ospite

Re: Gli albori

Messaggioda Ospite » 14 apr 2005, 14:55

Marco ha scritto:Ciao. Quella che segue è una chicca rara. Si tratta del primissimo invio dei problemi di allenamento dell'allora neonato Gruppo Tutor. Correva l'anno 1996. Enjoy.

M.

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4. E' data una circonferenza. Su di essa è fissato un punto A ed al suo interno è fissato il punto D. Consideriamo una corda arbitraria BC che contiene D. Sia M il baricentro di ABC. Qual è il luogo descritto da M al variare di BC?




Se O e il centro di della circonferenza data ed H ed N sono i punti medi di DO e BC rispettivamente, si ha che il luogo dei punti N al variare di BC e' il cerchio di centro H e raggio DO/2. Se G e' il baricentro di ADO, risulta che GM e omotetico con HN con centro A e rapporto 3/2. Pertanto il luogo ceracto e' il cerchio di centro G e raggio 3DO/4.

Ospite

Re: Gli albori

Messaggioda Ospite » 14 apr 2005, 17:43

Marco ha scritto:1. Dimostrare che in un triangolo non ottusangolo, il perimetro è sempre maggiore del doppio del diametro della circonferenza circoscritta.


questo deriva dal fatto che fra due traingoli (non ottusi) con un lato e l'angolo opposto uguali quello che ha perimetro maggiore e' quello che ha il piu' piccolo angolo maggiore.

si avrebbe a+b > d+c' e c+c' > d


a+b+c > d+c+c' > 2d

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Messaggioda info » 14 apr 2005, 21:45

Marco ha scritto:
2. Un certo numero di scuole prende parte ad un torneo di tennis. Due giocatori della stessa scuola non giocano mai l'uno contro l'altro, mentre due partecipanti di scuole diverse giocano esattemente una partita. Una partita tra due ragazzi o due ragazze è detta un "singolo", e quella tra un ragazzo ed una ragazza è un "singolo misto". Il numero totale di ragazzi differisce dal totale delle ragazze al massimo di 1. Il numero totale dei singoli differisce dal numero dei singoli misti al massimo di 1. Qual è il massimo numero di scuole rappresentate al torneo da un numero dispari di giocatori?




se non ho sbagliato i calcoli (che riporterò se la sol è corretta) viene un risultato del tipo:

2* (SINGOLI - SINGOLI_MISTI) = (M-F)^2 - S[i=1-->n] [m(i)-f(i)]^2

dove M (F) è il numero totale dei maschi (femmine)

m(i) i maschi della scuola i-esima ed analogamente f(i)

con le condizioni date si nota che quando il numero di studenti è dispari m(i)-f(i) è sic diverso da 0, mentre tante squadre pari non rovinano niente.... o meglio, ammettiamo che esista una squadra pari, allora per massimizzare la situazione questa deve avere uguali maschi e femmine e quindi non influisce nella sommatoria. Si inseriscono quindi al max 3 squadre dispari. Due con maggioranza di maschi ed una con maggioranza di femmine (o il contrario) e così si riesce a mantenere la differenza modulo di (M-F)=1...


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