il conflitto tra le armoniche 3/2, 2, 3 e 4

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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 06 dic 2009, 21:20

Ok, allora, proviamo a riassumere.

Tu hai approntato questo sistema dove, fronzoli e discorsi fumosi a parte, un semitono (cromatico o diatonico, in quanto è un temperamento equabile) corrisponde a moltiplicare la frequenza per un certo numero 1.0594865443501... che è la più piccola soluzione reale di una certa equazione.

Sostieni che questo sistema è migliore di quello tradizionale perché i battimenti tra gli armonici che si generano in questo modo sono più simmetrici.

Due domande (a cui vorrei risposte secche e chiare, non discorsi con parole insensate tipo "ente geometrico" o "$ s $ infinite curve"):
1) da che nota si parte ad accordare un pianoforte? dal La a 440Hz? dal tasto più basso? dal tasto più alto? Otterrai accordature differenti, in questo modo. Quale è quella che ti va bene, anche rispetto all'esecuzione con altri strumenti o con la voce umana?
2) come fai a sostenere che un battimento è "meglio" di un altro?

Per quanto riguarda la terminologia, se vai in inghilterra dovrai parlare inglese, se vieni in un forum di matematica devi adottare il linguaggio qui parlato, se vuoi farti capire.

Per quanto riguarda il La, non mi pare cambi molto. A 440Hz il battimento verrà con periodo di poco più di un secondo. Comunque, in tutto questo, non mi hai risposto.

alfredo capurso
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Messaggio da alfredo capurso » 06 dic 2009, 23:46

Evaristeg,

scrivi: "Per quanto riguarda la terminologia, se vai in inghilterra dovrai parlare inglese, se vieni in un forum di matematica devi adottare il linguaggio qui parlato, se vuoi farti capire."...

Fatti un'idea:

http://pls.dima.unige.it/ftrig/Funzioni ... dex.html#a

Li (e non solo li) leggi: "Ogni sinusoide in cui un suono è scomposto viene chiamata parziale (o componente). Se la frequenza di una parziale è multipla di quella fondamentale, essa è una armonica."...

Ma perché insisti? Il punto è tutt'altro e a me non disturba dire "armoniche".

..."Tu hai approntato questo sistema dove, fronzoli e discorsi fumosi a parte,"...

Ok, proviamo insieme, tu vorrai lasciare da parte questi tuoi fronzoli, che peraltro mi risultano indisponenti.

..."un semitono (cromatico o diatonico, in quanto è un temperamento equabile) corrisponde a moltiplicare la frequenza per un certo numero 1.0594865443501..."...

Corretto.

..."Sostieni che questo sistema è migliore di quello tradizionale perché i battimenti tra gli armonici che si generano in questo modo sono più simmetrici."...

La questione riguarda sia la premessa teorica, sia l'applicazione pratica del modello. L'assunto del primo T.E., 2^(1/12), è arbitrario. Non vi è ragione logica (me ne vuoi dare una?) ne pratica per fissare l'ottava in ragione 2:1. E quando dici "...dunque l'orecchio umano è abituato a sentirla...", implichi una serie di considerazioni approssimative.

Ancora oggi le teorie temperamentali (tradizionali) contrastano i battimenti, il modello Chas ne fa un punto di forza. Le simmetrie evidenziate nelle sezioni 3.4 e 3.5 sono una rappresentazione, di fatto parlo di battimenti sincronici, determinati da differenze proporzionali su tutte le armoniche, ossia dalla combinazione di tutte le ragioni, incluso 2:1.

..."Due domande (a cui vorrei risposte secche e chiare, non discorsi con parole insensate tipo "ente geometrico" o " infinite curve",...

Le domande che vuoi, ma please risparmiami questi tuoi commenti. Per altro non aiutano a pensare in termini di oggetto astratto = ente. E infinite progressioni geometriche possono o no tradursi con infinite curve?

..."1) da che nota si parte ad accordare un pianoforte? dal La a 440Hz? dal tasto più basso? dal tasto più alto?"...

Si parte dal LA4 = 440.00 Hz

..."Otterrai accordature differenti, in questo modo. Quale è quella che ti va bene, anche rispetto all'esecuzione con altri strumenti o con la voce umana?"...

Scusa ma non mi è chiara la domanda.

..."2) come fai a sostenere che un battimento è "meglio" di un altro?...

Meglio di un battimento asincrono, ossia non proporzionale, è un battimento proporzionale, ossia sincronico.

..."Per quanto riguarda il La, non mi pare cambi molto. A 440Hz il battimento verrà con periodo di poco più di un secondo. Comunque, in tutto questo, non mi hai risposto."...

A cosa? Sono tornato a rileggere ma non vedo punti di domanda. Forse temi che il battimento della doppia ottava possa disturbare? Risponderei no, non disturba affatto. Ha una frequenza di circa 1/2,5 b/s, ma se vuoi una riprova ascolta CHAS Tuning MP3.

CHAS Tuning MP3
http://www.box.net/shared/od0d7506cv

Dicevo: "Rispetto all’ente geometrico Chas (leggi: oggetto Chas), l’attributo arbitrario è imposto da un valore discrezionale “s” che lascia spazio a qualsivoglia urgenza." E ti chiedevo: Non ti pare?

Non ti piace che oggi 2^(1/12) sia descrivibile come una di "s" infinite curve?

a.c.




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Messaggio da SkZ » 07 dic 2009, 00:53

Tecnicamente per "curva" si intende un continuo uni-dimensionale http://mathworld.wolfram.com/Curve.html mentre una successione e' un insieme numerabile di punti. Quindi l'eguaglianza non mi sembra molto corretta.
alfredo capurso ha scritto:
..."2) come fai a sostenere che un battimento è "meglio" di un altro?...

Meglio di un battimento asincrono, ossia non proporzionale, è un battimento proporzionale, ossia sincronico.
Perche'? :?
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Messaggio da EvaristeG » 07 dic 2009, 01:21

Per quanto riguarda le curve, ti ha risposto SkZ, per quanto riguarda le armoniche, tu fidati di internet.
E io accolgo la domanda di SkZ e la faccio mia: perché è meglio un battimento, come tu dici, proporzionale? questo mi sembra un assunto che, al pari del fatto che l'ottava sia intoccabile, è lecito definire completamente arbitrario.

Del resto, la ragione della scelta dell'ottava come misura fissa viene, a posteriori, dal fatto che l'ottava è il secondo armonico e quindi è, negli strumenti in cui una corda è pizzicata o sfregata, quello più evidente. I rapporti di ottava, quinta, terza maggiore eccetera sono i modi normali di vibrazione di un sistema fisico ben preciso che è la corda ideale tesa; teoremi (matematici) assicurano che ogni tipo di vibrazione di una corda ideale (di sezione molto piccola rispetto alla lunghezza e non deformabile in maniera apprezzabile dalla vibrazione) è combinazione di queste vibrazioni fondamentali e, in ogni situazione fisicamente sensata, l'importanza (ovvero l'intensità) decresce abbastanza rapidamente con la distanza dalla frequenza voluta (ovvero i suoni armonici hanno intensità sempre minori man mano che ci si allontana).
Da ciò segue anche il fatto che si sia scelto di dividere l'ottava in 12, come ho precedentemente spiegato.
Sono tornato a rileggere ma non vedo punti di domanda. Forse temi che il battimento della doppia ottava possa disturbare? Risponderei no, non disturba affatto.
E perché non disturba?

Infine, quello che dicevo io è questo: perché fissi il La a 440Hz?
Non puoi fissare il La sotto al Do centrale a 220Hz? O quello ancora sopra a 880Hz?
Si ottengono in questo modo 3 accordature differenti, percepite differenti da un orecchio assoluto, sicuramente, ma anche percepite differenti da un orecchio allenato, in quanto la nostra percezione degli intervalli varia leggermente in frequenze molto basse o frequenze molto alte (le ottave lontane sul pianoforte).

E, già che mi viene in mente, perché dividi l'ottava in 12, visto che non hai più, in realtà, l'ottava?

Parlandoci chiaro, torno a dire quel che ho già detto: non so e non mi interessa se questo sistema mi suoni meglio o peggio di quello equabile, però non vedo alcuna sensata ragione matematica per cui si possa dire che è meglio. Tu dici che lo è in quanto si producono battimenti che tu dici essere "migliori", perché sono "sincroni", il che sposta solo la domanda sul perché i battimenti sincroni siano migliori. Alla fine, la questione è solo quello che a ciascuno piace sentire, mi pare. E su questo la matematica ha poco da dire. Se si parte dal presupposto che sia meglio avere qualcosa che, in prima istanza (ovvero quando si considerano solo gli armonici più evidenti), è il più vicino possibile alla scala naturale, allora la soluzione è (matematicamente) il temperamento equabile tradizionale.
Se parti dal presupposto, per me altrettanto arbitrario, che è meglio avere un certo tipo di battimenti eccetera, allora otterrai altre cose.

In realtà, ho sempre creduto che fosse meglio un approccio empirico e sperimentale a queste cose e la riprova ne è il fatto che i migliori accordatori non sono oggetti elettronici che rilevano le frequenze, ma persone che di solito sbagliano anche di un bel po' nelle ottave basse ed alte.

alfredo capurso
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Messaggio da alfredo capurso » 07 dic 2009, 23:52

SkZ, scrivi:

...“Tecnicamente per "curva" si intende un continuo uni dimensionale http://mathworld.wolfram.com/Curve.html mentre una successione e' un insieme numerabile di punti. Quindi l'eguaglianza non mi sembra molto corretta.”...

Hai ragione, difatti non ho eguagliato una successione ad una curva.
Domandavo: “E infinite progressioni geometriche possono o no tradursi con infinite curve?” Attenzione quindi, parlavo di traduzione.

http://pls.dima.unige.it/Logaritmo/Berto/spirale.htm

Li, per esempio, si legge a conferma: “Una spirale è una curva…le distanze fra i bracci di una spirale logaritmica aumentano secondo una progressione geometrica.”

Quindi la risposta può ben essere si, infinite progressioni geometriche possono tradursi con infinite curve.

Chiedi perché “meglio di un battimento asincrono, ossia non proporzionale, è un battimento proporzionale, ossia sincronico.”

Perché la proporzione dei battimenti consente di cambiare tonalità senza imbattersi negli intervalli “del lupo”, cioè senza incontrare intervalli troppo dissonanti rispetto ad altri. Questo è stato anche l’obiettivo del primo ET 2^(1/12), raggiunto solo in parte a causa del presupposto arbitrario riguardante l’ottava “pura”.

EvaristeG, scrivi:

...“per quanto riguarda le armoniche, tu fidati di internet.”...

Mi fido in parte e solo quando si tratta di siti afferenti ad Atenei. Poi ho già scritto che il punto è sapere di cosa si sta parlando.

...“E io accolgo la domanda di SkZ e la faccio mia: perché è meglio un battimento, come tu dici, proporzionale? questo mi sembra un assunto che, al pari del fatto che l'ottava sia intoccabile, è lecito definire completamente arbitrario.”...

Questa tua affermazione mi fa temere che tu non stia più considerando (non ti offendere, parlo di un timore) le istanze che fanno preferire una progressione geometrica delle frequenze di scala, istanze legate alla proporzione dei battimenti e alla fisiologia del nostro apparato uditivo.

Vedi, la progressione in ragione 2^(1/12) ha rappresentato un passo avanti in quella direzione, oggi il modello Chas ne fa un altro. Un'accordatura “equabile” implica battimenti progressivamente più veloci per cromatiche terze, seste, decime, diciassettesime ecc. Purtroppo 2^(1/12) fa si che gli intervalli “calanti”, seconde, quinte, dodicesime ecc. raddoppino il battimento, ottava dopo ottava e per questa ragione è risultato di fatto inapplicabile.

L’intenzione (la progressione geometrica) era giusta, il presupposto teorico dell’ottava pura no. La doppia ottava pura, come teorizzata da 2^(1/12), causa una ottava+quinta (12ma) e una doppia ottava+quinta (17ma) calanti in modo drammatico. Come mai? Perché teorizzando l’ottava “pura”, il “carico” di differenza (perdona il lessico da movimentatore) grava troppo su quegli intervalli. Cosa fare? Bisogna “tendere” le terze - che sono un sottomodulo di ottava (elementi 0, 4, 8, 12) - “stirando” (perdona il lessico da aggiusta-ossi) l’ottava. Quanto? Fino a trovare un perfetto equilibrio dei “carichi” di differenza.

Questo nuovo equilibrio è la risultante di un doppio trascinamento (perdona il lessico da bovaro), quello dell’ottava+quinta e della doppia ottava in proporzione –1/1, ciò che nel modello Chas è una duplice differenza, la “costante” di scala espressa dal delta.

...“Del resto, la ragione della scelta dell'ottava come misura fissa viene, a posteriori, dal fatto che l'ottava è il secondo armonico e quindi è, negli strumenti in cui una corda è pizzicata o sfregata, quello più evidente.”...

Gli strumenti su cui la corda è sfregata, violini, violoncelli ecc., non sono ad “intonazione fissa”, ne consegue che starà all’orecchio del musicista intonare correttamente le note. E ti faccio notare che, in orchestra, si chiede ai solisti (primo violino, cantanti ecc.) di stare semmai un po’ crescenti e ai bassi di stare (semmai) un po’ calanti. Ti sei già chiesto perché? Perché i violini (et similia) vengono accordati per quinte pure?

Neanche per gli strumenti su cui la corda è pizzicata può “a posteriori” valere la ragione per l’ottava pura anche quando pensi all’intensità degli armonici. Come ti ho già scritto, devi considerare che una terza batte per le differenze sugli armonici 5 (della nota bassa) e 4 (della nota alta), così come per altri intervalli, che non sto qui ad elencare, gli armonici 3, 4, 5, 6, 7 ecc. tutti, a seconda dell’intervallo, determinano i battimenti.

Quindi la questione non riguarda tanto l’intensità degli armonici quanto le numerose combinazioni determinate volta per volta dagli armonici in gioco e dalle differenze rispetto ai valori armonici interi, e per questo era il caso di combinare tutti gli armonici, tutti, compreso il secondo, quello che ora fa il modello Chas.

Chiedi:...“Perché non disturba il battimento della doppia ottava Chas?”...

Perché è un battimento lento, determinato da una differenza molto inferiore rispetto a quella che potresti notare oggi tra i diversi strumenti orchestrali. Forse (ma non ho mai testato) quel battimento così lento non viene neanche percepito da un orecchio “comune”, ma lo stesso orecchio (testato) sarebbe in grado di dirti che una 12ma o una 17ma sono più belle se meno calanti.

...“Infine, quello che dicevo io è questo: perché fissi il La a 440Hz?”...

Temo che si vada fuori tema, comunque...si fissa il LA4 = 440 per convenzione.

...“Non puoi fissare il La sotto al Do centrale a 220Hz? O quello ancora sopra a 880Hz?. Si ottengono in questo modo 3 accordature differenti, percepite differenti da un orecchio assoluto, sicuramente, ma anche percepite differenti da un orecchio allenato, in quanto la nostra percezione degli intervalli varia leggermente in frequenze molto basse o frequenze molto alte (le ottave lontane sul pianoforte).”...

Mi spiace ma non capisco il punto (onestamente). Sembra comunque vero quanto scrivi dall’ultima virgola al punto. E quindi?

...“E, già che mi viene in mente, perché dividi l'ottava in 12, visto che non hai più, in realtà, l'ottava?”...

Dove trovi l'ottava divisa in 12? L’algoritmo Chas da modo di definire qualsivoglia divisione di scala, anche microtonale, e se non si è capito lo si dica, potrò fare qualche esempio. Poi, nella versione che conosci procura una scala diatonica, non basata sull'ottava bensì intermodulare.

...“Parlandoci chiaro, torno a dire quel che ho già detto: non so e non mi interessa se questo sistema mi suoni meglio o peggio di quello equabile, però non vedo alcuna sensata ragione matematica per cui si possa dire che è meglio.”...

Questo mi dispiace perché mi fa credere di parlare senza voce e di scrivere tanto per. La ragione matematica sta nella necessità di combinare tutti i valori armonici così che le tutte differenze dai valori armonici puri e tutte le frequenze di scala possano condividere una stessa ragione, come spiegato nell’articolo Chas, sezione 3.0.

http://math.unipa.it/~grim/Quaderno19_C ... 9_engl.pdf

...“Tu dici che lo è in quanto si producono battimenti che tu dici essere "migliori", perché sono "sincroni", il che sposta solo la domanda sul perché i battimenti sincroni siano migliori.”...

Già spiegato sopra.

...“Alla fine, la questione è solo quello che a ciascuno piace sentire, mi pare. E su questo la matematica ha poco da dire.”...

Questa affermazione è, a dir poco, fuorviante. Così, con una riga, pure escludendo il Chas, togli significato al lavoro e all’impegno di dozzine di studiosi che nei passati 3000 (?) anni si sono cimentati nella ricerca di un ordine proporzionale dei suoni in scala. Ma dimmi, sei davvero un matematico?

...“Se si parte dal presupposto che sia meglio avere qualcosa che, in prima istanza (ovvero quando si considerano solo gli armonici più evidenti), è il più vicino possibile alla scala naturale, allora la soluzione è (matematicamente) il temperamento equabile tradizionale.”...

Quel presupposto e quella prima istanza sono ora ingiustificabili, tutti gli armonici possono concorrere ad un insieme stabile (vedi sezioni 3.4 e 3.5) e straordinariamente eufonico.

...“Se parti dal presupposto, per me altrettanto arbitrario, che è meglio avere un certo tipo di battimenti eccetera, allora otterrai altre cose.”...

Quello dei battimenti sincronici, proporzionali e progressivi non è, come ho potuto spiegare, un presupposto arbitrario, riguarda piuttosto una modalità logaritmica legata alla fisiologia del nostro apparato uditivo da un lato, e dall'altro la possibilità di rendere un insieme di suoni eufonico e massimamente risonante.

CHAS Tuning MP3
http://www.box.net/shared/od0d7506cv

...“In realtà, ho sempre creduto che fosse meglio un approccio empirico e sperimentale a queste cose e la riprova ne è il fatto che i migliori accordatori non sono oggetti elettronici che rilevano le frequenze, ma persone che di solito sbagliano anche di un bel po' nelle ottave basse ed alte.”...

Ho la sensazione che, a volte, tu possa non sapere cosa fartene dei numeri (non ti offendere, magari capita). Giusto per curiosità, un quesito Dash: se 300 anni fa ti avessero convinto su

(3 – (∆*s1))^(1/19) = (4 + (∆*s))^(1/24) con s1 = 1 , s = 1

oppure con s = come piace a te,

e oggi ti dicessero: guarda che funziona meglio 2^(1/12)

lo scambieresti?

Fph, Nonno bassotto, dove siete? a.c.
Ultima modifica di alfredo capurso il 08 dic 2009, 00:24, modificato 3 volte in totale.

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Messaggio da SkZ » 08 dic 2009, 00:10

alfredo capurso ha scritto:SkZ, scrivi:

...“Tecnicamente per "curva" si intende un continuo uni dimensionale http://mathworld.wolfram.com/Curve.html mentre una successione e' un insieme numerabile di punti. Quindi l'eguaglianza non mi sembra molto corretta.”...

Hai ragione, difatti non ho eguagliato una successione ad una curva.
Domandavo: “E infinite progressioni geometriche possono o no tradursi con infinite curve?” Attenzione quindi, parlavo di traduzione.

http://pls.dima.unige.it/Logaritmo/Berto/spirale.htm

Li, per esempio, si legge a conferma: “Una spirale è una curva…le distanze fra i bracci di una spirale logaritmica aumentano secondo una progressione geometrica.”

Quindi la risposta può ben essere si, infinite progressioni geometriche possono tradursi con infinite curve.
E quindi la risposta e' no! Non puoi girare le cose come vuoi tu estrapolando solo quello che ti fa comodo.
Una curva e' una varieta' continua e densa. Una successione e' numerabile. Ergo i punti di una successione possono giacere su una curva, se traduco la successione in una funzione sui naturali. Ma ovviamente dato che una curva e' traducibile come una funzione dei reali, le due cose non si possono uguagliare.
A te parra' di si perche' ti mancano parecchie nozioni di matematica ergo considerei la cosa da un punto di vista approsimativo e non rigoroso. Ma la Matematica e' in primis rigore. Poi viene il resto.
In Matematica e' definito pure il "circa".


Chiedi perché “meglio di un battimento asincrono, ossia non proporzionale, è un battimento proporzionale, ossia sincronico.”

Perché la proporzione dei battimenti consente di cambiare tonalità senza imbattersi negli intervalli “del lupo”, cioè senza incontrare intervalli troppo dissonanti rispetto ad altri. Questo è stato anche l’obiettivo del primo ET 2^(1/12), raggiunto solo in parte a causa del presupposto arbitrario riguardante l’ottava “pura”.
:? In parole povere, ovvero in formule matematiche, che intendi (siamo su un forum di matematica, ergo la mia richiesta non e' assurda)
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Messaggio da alfredo capurso » 08 dic 2009, 00:54

SkZ, mi sei piaciuto e così cominci ad essermi quasi simpatico.

E' vero che a me mancano parecchie nozioni di matematica però apprezzo il rigore e so bene che tradurre, in Italiano, non vuol dire uguagliare. Forse in ambito matematico sono sinonimi e se è così mi scuso. Intendevo dire che una curva può essere riferita ad una progressione geometrica, come nel caso citato.

Domani proverò a rispondere alla tua ultima richiesta, ora per me s'è fatto tardi.

Grazie, a.c.

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Messaggio da SkZ » 08 dic 2009, 01:39

attenzione:
una successione geometrica $ ~(a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ si puo' esprimere con la legge $ ~a_n=a_0q^n\quad n\in \mathbb{N} $
la curva spirale esponenziale $ ~\gamma $ si esprime con la legge $ ~\gamma: \mathbb{R}\to \mathbb{C} : z=z_0^x=r^xe^{i\alpha x} $
Come vedi sono 2 leggi ben diverse
Considerata una certa direzione $ ~e^{i\theta} $ ovvero $ ~\alpha x-\theta=2n\pi\quad n\in\mathbb{Z} $, abbiamo che i punti della spirale si pongono secondo $ $z=r^{\frac{\theta+2n\pi}{\alpha}}e^{i\theta}=r^{\frac{\theta}{\alpha}}r^{\frac{2\pi}{\alpha}n}e^{i\theta} $
ovvero le loro distanze dal centro seguono 2 successioni geometriche.
Ma abbiamo solo detto che alcuni punti seguono una progressione geometrica, non che c'e' una "traduzione" tra successione e curva

come dice Mathworld, una successione e' un insieme ordinato di oggetti matematici.
Una curva puo' essere ordinata, ovvero su di essa si puo' definire una coordinata curvilinea, ma e' un altra cosa.

tradurre, cmq, in italiano non ha alcun significato specifico per quello che tu lo usi
http://www.treccani.it/Portale/elements ... 119736.xml
casomai si puo' intendere come "esprimere in altra forma", che sostanzialmente ha un significato affine a "uguagliare". In fondo quando si dice che "make si traduce con fare" si intende una relazione "make=fare" (in verita' non e' esatto dato che spesso dipende dal contesto). Matematicamente parlando si direbbe che "fare e' associato a make e viceversa", ovvero si effettua una funzione biettiva tra i termini. Non esiste una funzione biettiva tra una curva e una successione.
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Messaggio da Pigkappa » 08 dic 2009, 01:59

alfredo capurso ha scritto:...“Alla fine, la questione è solo quello che a ciascuno piace sentire, mi pare. E su questo la matematica ha poco da dire.”...

Questa affermazione è, a dir poco, fuorviante. Così, con una riga, pure escludendo il Chas, togli significato al lavoro e all’impegno di dozzine di studiosi che nei passati 3000 (?) anni si sono cimentati nella ricerca di un ordine proporzionale dei suoni in scala. Ma dimmi, sei davvero un matematico?
Sono del tutto esterno a questa vicenda e non capisco molte delle cose di cui si sta parlando, ma voglio chiedere questo: c'è qualche motivo ragionevole per cui si suppone che una specifica regolarità nelle frequenze che ascoltiamo debba piacerci particolarmente? Uno studio di questo tipo, fatto dal punto di vista scientifico, non vedo come possa non essere empirico. Per trattarlo da un punto di vista più teorico bisognerebbe analizzare un sacco di processi che avvengono nell'orecchio e nel cervello umano, che penso sfuggano alle nostre attuali conoscenze scientifiche.

EvaristeG è un matematico (dove matematico = matematico laureatosi molto bene in un posto molto importante, e che sta ancora studiando matematica dopo la laurea), te lo confermo. Comunque la matematica ha fatto tanta strada negli ultimi 3000 anni; per fare un paragone che secondo me è analogo, oggi una persona può essere un ottimo matematico senza dover per forza sperare di trovare la sezione aurea in tutto quello che vede, e senza pensare che nella sezione aurea ci sia una bellezza intriseca.

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Messaggio da EvaristeG » 08 dic 2009, 12:49

La faccenda mi sta alquanto scocciando. Fino ad ora, mi pare di non averti mai contestato le conoscenze musicali o fisiologiche che ti arroghi (e secondo me nemmeno a ragion veduta), ma solo quelle matematiche, dacché, per tua stessa affermazione, non sei un matematico. Visto che io matematica l'ho studiata per anni, ci ho sudato e faticato, mi sembra quanto meno presuntuoso, da parte tua, volermi dire che non la conosco, o non la riconosco, visto poi come ti esprimi a proposito di essa e quale tipo di ragionamenti porti avanti.

Detto ciò, alcune cose.

1) gli intervalli del lupo si trovano, di solito, nella scala mesotonica, nella quale (proprio come nel chas) dodici quinte giuste non fanno un'ottava. (lì l'esempio famoso è la quinta del lupo, una sesta diminuita che diventa una quinta estremamente crescente).

2) il fatto che l'equilibrio e la simmetria racchiudano la bellezza è concetto filosofico, non matematico ed è negato da buona parte dell'arte moderna.

3) in un orchestra, ai solisti si dice di star crescenti perché l'abitudine dell'orecchio, verso l'alto, è di calare e ai bassi si dice di star calanti perché, verso il basso, l'orecchio cresce. Se tu fai accordare a due persone (valide e brave nel loro lavoro) un pianoforte e poi confronti le frequenze con quelle dell'accordamento teorico, noterai che il risultato è sopra a quello teorico in basso e sotto a quello teorico in alto. Questo esperimento è stato fatto ed ha portato negli anni 80 a proporre un sistema di accordatura in cui il logaritmo delle frequenze stesse sopra la retta opportuna all'inizio, vi coincidesse nelle ottave centrai e scendesse sotto ad essa alla fine.

4) non vedo, onestamente, cosa c'entrino i battimenti con la percezione logaritmica del suono, visto che i battimenti funzionano proprio per somme e differenze di frequenze, mentre la nostra percezione va avanti a rapporti.

5) per strumento ad accordatura fissa intendevo qualcosa in cui non si possa cambiare a piacere l'altezza della nota in corso di esecuzione, ad esempio un violino (su cui le corde vuote sono già intonate) contro un fiato.

6) non ti offendere, ma tu di matematica non capisci niente... la matematica è proprio l'arte di fare a meno dei numeri; se trecento anni fa mi avessero convinto di qualcosa, oggi sarei morto. E comunque quel che continuo a sostenere è questo: è questione di gusti, non c'è alcuna necessità matematica. O meglio, c'è una volta che tu fissi i tuoi presupposti. Che, proprio in quanto presupposti, sono arbitrari e non dimostrabili come veri (altrimenti non sarebbero presupposti); tu dici che i presupposti del temperamento tradizionale sono inconsistenti, io ti dico che lo sono i tuoi e non c'è niente che possa dimostrare che è meglio l'uno o l'altro. Perché la riprova è una questione di gusto, di piacere nell'ascolo, ed appena fai un esperimento, non stai più facendo matematica.

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Messaggio da Nonno Bassotto » 08 dic 2009, 14:18

alfredo capurso ha scritto:Fph, Nonno bassotto, dove siete? a.c.
Esserci, ci sono, ma temo di non avere niente di interessante da dire. Comunque ecco il mio punto di vista.

1) Sul problema della terminologia
alfredo capurso ha scritto:so bene che tradurre, in Italiano, non vuol dire uguagliare. Forse in ambito matematico sono sinonimi
Non è questo il problema. Il problema è che una frase come "infinite progressioni geometriche possono tradursi con infinite curve" in effetti non vuol dire niente.

Ciò detto, non mi sembra il caso di attaccare alfredo.capurso sul piano del linguaggio, non essendo appunto un matematico. Cercherei di mantenere la discussione sulle accordature, magari invitando alfredo a evitare voli pindarici ed esprimersi nel modo più semplice e chiaro possibile.

2) Sul problema dell'essere o non essere matematico
Pigkappa ha scritto:oggi una persona può essere un ottimo matematico senza dover per forza sperare di trovare la sezione aurea in tutto quello che vede, e senza pensare che nella sezione aurea ci sia una bellezza intrinseca.
Mi sembra che questo dica tutto. Molte persone su questo forum ne capiscono di matematica, e posso garantire almeno per Evariste e fph, che conosco personalmente. Il fatto di avere un punto di vista diverso sulla musica non c'entra molto. Per inciso, nessuna branca della matematica moderna che conosca si occupa (anche lontanamente) di musica, anche se esistono parti della matematica che possono essere applicate in una discussione sulla musica.

3) Sul problema dell'esperimento

Le 3 diverse accordature proposte finora (equabile, Chas, fph) differiscono nei presupposti. Su questi non ci può essere discussione matematica, perché sono supposti prima di creare il modello matematico.

Questi presupposti si basano in parte sulle (scarse) conoscenze che abbiamo di psicoacustica. Ma il problema di andarle a verificare, suonando le tre diverse accordature e sentendo quale "suona" meglio esiste eccome. Altrimenti di cosa stiamo parlando?

Per inciso, in fisica non è raro che capiti questo. Ci sono due teorie, entrambe matematicamente fondate, che si basano su presupposti diversi molto difficili da verificare (es. l'esistenza dell'etere). Per scegliere tra l'una e l'altra si verificano le conseguenze. È un modo indiretto di procedere abbastanza comune. Nel nostro caso le conseguenze più ovvie da verificare sono il risultato di un piano che suona con le diverse accordature.

4) Sull'effettiva differenza tra le 3 proposte

Purtroppo secondo me la differenza tra le accordature proposte potrebbe essere molto poco percepibile in una situazione reale (ad esempio in platea davanti ad un'intera orchestra).

In ogni caso a me piacerebbe sentire il risultato di questo esperimento.

Codice: Seleziona tutto

Si prende un piano elettrico in cui si possano aggiustare le frequenze dei singoli tasti. Si suona un pezzo relativamente semplice e stranoto, per circa un minuto, e si registra. Dopo di che si lascia rieseguire al piano il pezzo con le diverse accordature. Questo elimina (almeno in parte) le differenze di esecuzione. Inoltre un minuto è un tempo abbastanza breve per non perdere di mente l'esecuzione precedente quando si ascolta la successiva. Per maggior sicurezza vorrei ascoltare i tre pezzi senza sapere prima qual è l'accordatura scelta.
Senza un esperimento di questo genere non sono in grado di giudicare. Ho provato ad ascoltare la registrazione del Chas, ma si tratta di un pezzo che non conosco, che dura 11 minuti, e non ho il confronto con l'equabile. Difficile dire se suoni meglio o peggio (a me sembra che suoni uguale). Ripeto che fuori da un esperimento così controllato, temo che le differenze non siano realmente percepibili.
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alfredo capurso
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Messaggio da alfredo capurso » 09 dic 2009, 00:43

EvaristeG, scrivi:

..."1) gli intervalli del lupo si trovano, di solito, nella scala mesotonica, nella quale (proprio come nel chas) dodici quinte giuste non fanno un'ottava."...

Quanto scrivi potrebbe confondere le idee, forse non te ne rendi conto.
La “quinta del lupo” è fortemente dissonante, la quinta derivante da 2^(1/12) no. Ancor meno la quinta (equabile) CHAS.

Ho già scritto che il problema del primo T.E. 2^(1/12) sta però nel fatto che gli intervalli “calanti”, ovvero seconde e quinte, raddoppiano il battimento ottava dopo ottava e ciò determina 12me (ottava+quinta), 19me (doppia ottava+quinta) ecc. fortemente “calanti”. In altre parole, se ci limitassimo a temperare una sola ottava, potremmo cavarcela con l’T.E. 2^(1/12), se però allarghiamo questo temperamento ad altre ottave, su intervalli più larghi di un ottava (12me ecc.) salteranno fuori i limiti di una progressione geometrica ispirata al rapporto 2:1.

E’ bene (per i lettori) precisare che anche la scala pitagorica ha la sua quinta del lupo, di solito tra Mib e Sol#, oppure tra Lab e Re#.

..."2) il fatto che l'equilibrio e la simmetria racchiudano la bellezza è concetto filosofico, non matematico ed è negato da buona parte dell'arte moderna."...

Non credo di avere mai parlato di bellezza, semmai di eufonicità legata a questioni percettive e di simmetria riferibile, ora, alle differenze da tutti (leggi tutti) i valori armonici “puri”, quindi simmetrie delle differenze determinate dal modello Chas (sezioni 3.4 e 3.5).

http://math.unipa.it/~grim/Quaderno19_C ... 9_engl.pdf

..."3) in un orchestra, ai solisti si dice di star crescenti perché l'abitudine dell'orecchio, verso l'alto, è di calare e ai bassi si dice di star calanti perché, verso il basso, l'orecchio cresce.”...

Domando: se l’abitudine dell’orecchio è quella di cui parli, che necessità ci sarebbe di provare a correggerla? Se fosse vero quanto affermi, quella stessa abitudine soddisferebbe l’ascoltatore, anch’egli già ben abituato. Di fatto, l’orecchio soffre più gli acuti calanti che non crescenti e questo giustifica e riconferma la necessità di una curva(?) d’innalzamento delle frequenze più accentuata.

...“Se tu fai accordare a due persone (valide e brave nel loro lavoro) un pianoforte e poi confronti le frequenze con quelle dell'accordamento teorico, noterai che il risultato è sopra a quello teorico in basso e sotto a quello teorico in alto. Questo esperimento è stato fatto ed ha portato negli anni 80 a proporre un sistema di accordatura in cui il logaritmo delle frequenze stesse sopra la retta opportuna all'inizio, vi coincidesse nelle ottave centrai e scendesse sotto ad essa alla fine.”...

Detto così mi dice poco. Puoi fornire una qualche fonte?

...“4) non vedo, onestamente, cosa c'entrino i battimenti con la percezione logaritmica del suono, visto che i battimenti funzionano proprio per somme e differenze di frequenze, mentre la nostra percezione va avanti a rapporti.”...

La proporzione dei battimenti, quindi delle differenze, deve determinare la progressione delle frequenze di scala e non viceversa come fin’ora s’è fatto. Da quella proporzione, si ottiene la progressione geometrica delle frequenze di scala, che risulterà tanto più eufonica quanto più potrà ricalcare/soddisfare la modalità percettiva.

...“5) per strumento ad accordatura fissa intendevo qualcosa in cui non si possa cambiare a piacere l'altezza della nota in corso di esecuzione, ad esempio un violino (su cui le corde vuote sono già intonate) contro un fiato.”...

Ok. Resta il fatto che il rapporto 2:1 su cui è basato il primo T.E. 2^(1/12) non è giustificabile neanche in base all’intensità del secondo armonico. Che si tratti di un pianoforte o di un’orchestra, tutti gli armonici, a seconda degli intervalli, entrano in gioco e determineranno i battimenti e con essi l’eufonicità dell’insieme. Il presupposto dell'ottava in rapporto 2:1 è semplicemente arbitrario e riduttivo.

..."6) non ti offendere, ma tu di matematica non capisci niente... la matematica è proprio l'arte di fare a meno dei numeri;”...

Non mi offendo e questo fronzolo lo prendo così, la frase non mi suona interlocutoria.

...“se trecento anni fa mi avessero convinto di qualcosa, oggi sarei morto.”...

Beh, mi andrà bene anche una risposta da morto. Me la darai? Ho potuto spiegare che dall'algoritmo Chas puoi ottenere la ragioni incrementale delle più diverse progressioni geometriche, incluso 2^(1/12), 3/2^(1/7), 3^(1/19) ecc. semplicemente variando il valore di "s"?

…“E comunque quel che continuo a sostenere è questo: è questione di gusti, non c'è alcuna necessità matematica.”…

Qui sbagli, un modello serve non ultimo per poter condividere i risultati di una ricerca.

...“O meglio, c'è una volta che tu fissi i tuoi presupposti. Che, proprio in quanto presupposti, sono arbitrari e non dimostrabili come veri (altrimenti non sarebbero presupposti);”...

Il presupposto del modello Chas è uno: la progressione geometrica dei valori di scala, come il primo T.E. 2^(1/12). La percezione logaritmica è però stata dimostrata. Se il primo T.E. trova un “compromesso” tra 5/4 e 3/2 in funzione di un’ottava 2:1, il modello Chas determina i valori di scala in funzione di differenze proporzionali. combinando tutti i valori armonici (parziali). Più che presupposto, questo è stato desunto dalla pratica, dimostrato e ancora dimostrabile.

...“tu dici che i presupposti del temperamento tradizionale sono inconsistenti,”...

No, non i presupposti ma il presupposto, quello dell'ottava pura e non dico inconsistente, dico che non è logico, che non vi è logica che possa giustificarlo. E' stato un dogma e forse (ma non sono né il solo né il primo a dirlo) ha fatto il suo tempo.

...“io ti dico che lo sono i tuoi e non c'è niente che possa dimostrare che è meglio l'uno o l'altro.”...

Qui, secondo me, ti sbagli. Si è capito (numericamente) come e perché il primo T.E. 2^(1/12) migliorava il mesotonico, si capirà anche come e perché il Chas migliora 2^(1/12). Fortunatamente, sia i modelli sia i gusti di cui parli sono condivisibili e penso indirizzino l’Uomo incessantemente.

Pigkappa, Nonno Bassotto, grazie, risponderò asap.

CHAS Tuning MP3
http://www.box.net/shared/od0d7506cv

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Messaggio da fph » 09 dic 2009, 11:37

alfredo capurso ha scritto:CHAS Tuning MP3
http://www.box.net/shared/od0d7506cv
Uhm, non serve che lo riporti a ogni messaggio, ormai l'abbiamo visto
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Messaggio da EvaristeG » 09 dic 2009, 11:43

Bah, tanto perché oggi non ho niente da fare....
allora, non sono gli intervalli di un po' d'ottave e una quinta ad essere calanti, in maniera diversa... anzi, l'orecchio, percependo appunto in base ai logaritmi, li percepisce calanti alla stessa maniera. Semmai si accentuano i battimenti con gli armonici della nota bassa (ma dal 3° in su), ma contemporaneamente si attenua l'intensità di quell'armonico.

Riguardo ai 300 anni fa, il problema è questo: nessuno è stato "convinto" che il temperamento equabile è meglio; siamo semplicemente tutti stati allevati con il temperamento equabile nelle orecchie. Da più di 300 anni. E', in definitiva, una questione di gusto e di cultura.
Per farti un esempio, se il principale strumento musicale fosse stato l'organo e non il pianoforte, non saremmo qui a discutere di temperamenti, visto che un organo è "accordato" secondo svariati schemi, a seconda del registro che stai considerando (o meglio del tipo di registro).
Se la doppia ottava avesse anche dei minimi battimenti su un organo la si percepirebbe immediatamente e sarebbe fastidiosissima (provare per credere, su un organo che non sia stato sistemato da molto, i registri di ottava 4 piedi calano di pochissimo e danno un effetto tipo marea veramente irritante).

Poi, ti faccio notare che alterare i battimenti equivale a alterare la differenza tra le frequenze, mentre alterare la percezione degli intervalli equivale ad alterare la differenza tra i logaritmi delle frequenze. Quindi non c'è troppo legame tra le due cose... o almeno non diretto ed evidente.

Infine, te lo ridico ancora una volta, poi mi arrendo: se tu non contesti il metodo con cui dai presupposti del temperamente equabile tradizionale si arriva alla definizione del semitono, ma contesti i presupposti (o meglio, così non perdi tempo a precisare, un presupposto) la matematica non c'entra. I presupposti vengono scelti in maniera empirica, fenomenologica, sperimentale; per questo sono cose supposte a priori, non dimostrate e non dimostrabili. Non c'è matematica nel scegliere l'ottava pura, come non c'è matematica nel scegliere di simmetrizzare i battimenti.

Postilla: eufonia vuol dire "bel suono" in greco, quindi è solo una parola pomposa per non dire bellezza.

alfredo capurso
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Messaggio da alfredo capurso » 09 dic 2009, 14:03

EvaristeG, stavo rispondendo a Nonno Bassotto, abbastanza in tema con il tuo post, ma risponderò anche a te. Grazie comunque.

Fph, se non ci sono controindicazioni tecniche, vorrei poter linkare Chas Tuning MP3 a mia discrezione.

Nonno Bassotto, grazie per "...non mi sembra il caso di attaccare...".

Scrivi…“Le 3 diverse accordature proposte finora (equabile, Chas, fph) differiscono nei presupposti. Su questi non ci può essere discussione matematica, perché sono supposti prima di creare il modello matematico.”…

Guardiamo un attimo i presupposti del modello Chas, passo passo, senza voli pindarici. Quello della progressione geometrica non può definirsi più un presupposto. Oggi si conoscono le modalità percettive del nostro apparato uditivo e questo equivale a conoscere una condizione reale.

Le differenze ±∆ sugli armonici 3 e 4 potrebbero intendersi un presupposto. Di fatto però sono un’estrazione, risultano cioè da un’osservazione empirica sui periodi dei battimenti. Le proporzioni dei battimenti restituiscono i rapporti tra lunghezze di corde vibranti. Se quelle proporzioni sono tratte da un insieme eufonico, quelle proporzioni possono ricondurre alla ragione numerica dell’insieme.

Osservare che 12me e 15me possono avere battimento uguale ma di segno opposto, calanti le 12me, crescenti le 15me, mi ha fatto individuare una plausibile regola di scala, l'ordine delle “differenze” che ora è la costante del sistema Chas. A posteriori, questa regola trova buone(?) ragioni logiche e quindi numeriche (solo riferito al mio percorso).

Vi è modo di “mediare” (si potrà dire così?), in termini di progressione geometrica, tra i valori primi relativi agli armonici 2 e 3 e lo si fa nel modo più corretto, ossia in modo da intermodulare le 25 note comprese tra il primo e il quarto armonico. Se con 2^(1/12) i 12 semitoni temperati potevano solo copiarsi in chiave di ottava pura, ora i dodici semitoni sono relazionati con tutti i valori armonici. Ogni intervallo, ossia ogni combinazione armonica fa capo alla costante di differenza ±∆. Ogni nota è relazionata in un insieme intermodulare.

Una riprova “a posteriori” è confortante. Vi è modo di recuperare anche le ragioni di una progressione geometrica basata sui rapporti puri, 2:1, 3:1 ecc.
In altre parole, il caso particolare può ora calcolarsi facendo uso di un fattore discrezionale “s”, (ad esempio 2^(1/12) si ottiene con s = 0)), questo si arbitrario. E di più: è possibile (in certa misura) variare i valori numerici dell’algoritmo Chas e modellare progressioni geometriche per scale non solo semitonali ma anche microtonali.

Ciò può forse far comprendere che questo modello si presta all’uso come un puro e semplice strumento. Sembra si possa dire che il presupposto del modello Chas è rinunciare ad ogni presupposto, e poter eccepire la regola ±∆ facendo il miglior uso del fattore “s”, un modulatore arbitrario.

Sarà capitato di andare in spiaggia col secchiello pieno di formine da riempire con la sabbia. Bene, a me non sembra troppo errato dire che:

2^(1/12) sta a una formina come

(3 – (∆*s1))^(1/19) = (4 + (∆*s))^(1/24) sta al secchiello.

Voilà, matematica da spiaggia, ma come si dirà in linguaggio matematico formale?

a.c.

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