Così tante...equazioni???

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E' vero che per dimostrare che 1 è un numero ci vogliono 27 equazioni?

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drago88
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Così tante...equazioni???

Messaggio da drago88 » 13 feb 2006, 14:30

Oggi a scuola un mio amico mi ha detto di aver letto da qualche parte (non so ben dove) che per dimostrare che '1' è un numero ci vogliono almeno 27 equazioni. Se lo è inventato oppure è vero? Cosa ne sapete voi a questo proposito???

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Oblomov
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Messaggio da Oblomov » 13 feb 2006, 15:53

Mi sembra che non abbia molto senso...Bertrand Russell scrisse decine di pagine per dimostrare che 1+1=2,ma non so nemmeno se si possano scrivere equazioni se non abbiamo la certezza che 1 é un numero.
Sono opinioni squisitamente personali,che qualcuno si pronunci più seriamente o chiudono il topic.
Saluti a Drago e a tutto il forum.
GioMott
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös

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desko
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Re: Così tante...equazioni???

Messaggio da desko » 13 feb 2006, 17:33

drago88 ha scritto:Oggi a scuola un mio amico mi ha detto di aver letto da qualche parte (non so ben dove) che per dimostrare che '1' è un numero ci vogliono almeno 27 equazioni. Se lo è inventato oppure è vero? Cosa ne sapete voi a questo proposito???
La questione così come la riferisci è mal posta.
Semplificando un po' si può dire che "1 è un numero naturale" più che essere un teorema (che necesita una dimostrazione), è un assioma, un postulato o forse ancor meno: è una definizione.
Si costruisce la struttura dei numeri naturali con gli assiomi di Peano (o equivalenti), si definisce 1 come l'unico elemento che non è successivo di nessuno (se facciamo partire i naturali da 1), o come il successivo del numero che non è successivo di nessuno (se facciamo partire i naturali da 0).
Sono convinto che cambiando assiomatica si possa aver bisogno di 27 equazioni per dimostrare che 1 è un numero, ma non trovo la minima utilità nel fare ciò.
Spero di non essere stato troppo criptico e di non averle sparate troppo grosse.
assiomi di Peano ha scritto:
  • Zero è un numero naturale.
    Se A è un numero naturale, il successore di A è un numero naturale.
    Zero non è il successore di nessun numero naturale.
    Se due numeri naturali hanno lo stesso successore allora sono uguali.
    Se un insieme S contiene Zero ed il successore di ogni numero naturale di S, allora S contiene tutti i numeri naturali.
"Caso è lo pseudonimo usato da Dio quando non vuole firmare col proprio nome"

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 17 mag 2006, 01:36

Non credo che il tuo amico abbia riportato correttamente la questione. Il punto è: cosa si intende con la frase "1 è un numero"? Quando si fa matematica di solito si danno per scontato un certo numero di concetti di base. A un certo punto si è sentito il bisogno di dare un fondamento più solido al "castello" matematico e si è iniziato ad indagare quand'è che un concetto apparentemente primitvo si può in realtà definire in termini di qualcosa di più semplice. Ad esempio:
-gli oggetti della geometria piana possono essere definiti come opportuni sottoinsiemi di R^2, quindi fondamentalmente in termini di numeri reali (non sto entrando nel merito dell'assiomatizzazione della geometria piana, ma della costruzione di un modello)
-i numeri reali possono essere assiomatizzati, ma anche costruiti a partire dai razionali
-i numeri razionali si costruiscono a partire dagli interi
-gli interi dai naturali

Quando dico "costruire" intendo che puoi definire, ad esempio, degli insiemi numerici e le relative operazioni a partire da insiemi numerici già noti, e mostrare che gli oggetti così costruiti soddisfano tutte le proprietà che hai sempre assunto.

A questo punto siamo rimasti con i naturali, che possono essere introdotti in modo assiomatico tramite gli assiomi di Peano o variazioni. I naturali, a loro volta, possono essere costruiti a partire dagli insiemi, che sono introdotti assiomaticamente. E' chiaro che molto più indietro non si può andare (qualche tentativo c'è), fondamentalmente perché molte delle "costruzioni" che si fanno in matematica si fanno usando appunto gli insiemi (ad esempio le rette sono opportuni sottoinsiemi del piano) per cui non è facile pensare ad un ente più primitivo, dal quale costruire gli insiemi.

Tornando alla tua domanda, ci vogliono 27 equazioni per costruire i naturali (o anche il solo 1)? No, in effetti non ci sono equazioni di sorta in ballo nella costruzione, al massimo alcune formule logiche se uno adotta un linguaggio formale. Inoltre una volta costruito il tuo insieme non devi dimostrare che 1 è un numero. 1 è un elemento dell'insieme che hai costruito, che tu hai deciso di chiamare "insieme dei numeri naturali".

E' però possibile che ci siano altre teorie assiomatiche su cui basare la costruzione dei naturali, e che in una di queste teorie si costruiscano oggetti più generali dei numeri. In una tale costruzione potresti aver definito 1, aver definito i numeri, ma dover fare una dimostrazione che 1 è un numero.

Ad esempio questo è l'approccio di Conway ai numeri surreali (li trovi descritti in un piacevole libro di Conway chiamato "On numbers and games" oppure in un libretto divulgativo di Knuth "Surreal numbers"). Conway dà alcuni assiomi per degli oggetti che lui chiama "giochi". Fra tutti i giochi ce ne sono alcuni particolari che si chiamano "numeri" (mi rendo conto che il termine giochi non è intuitivo, ma si chiamano così). 1 è un particolare gioco, ma occorre una verifica per poter dire che in realtà è un numero. Questa verifica è quasi immediata e non richiede certo 27 equazioni. In una teoria diversa però non posso escludere che questo sia necessario.

Spero di essere stato chiaro, casomai chiedimi spiegazioni.
Ciao
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill

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