Il metodo d'induzione.

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Epimenide
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Epimenide » 15 set 2012, 02:11

EvaristeG ha scritto:La matematica procede, da prima di Aristotele, per metodo assiomatico (cosa che a Platone non andò mai giù e fece sì che nella Repubblica lui parlasse della matematica come una conoscenza inferiore), partendo da assiomi ingiustificati e da non giustificare ... quindi è solo ovvio che l'induzione aristotelica non vi trovi posto. L'unico universale in matematica sono i teoremi e non vi sono "particolari" ... l'unico particolare plausibile sono gli esempi concreti e imperfetti realizzabili da qualcuno che la studia e l'unica strada che porta ai primi dai secondi è l'euristica, che però non ha dignità formale. Tutto qui. Poi, prima di Kant o dopo Fichte, alla matematica tipicamente importa poco ... non essendo scienza, gode di ottima vita eterna in ogni suo risultato.
Gli assiomi prima della "rivoluzione" erano considerati unici e insostituibili, anche in matematica. La matematica è diventata molto più ampia e in un certo senso potente quando si è capito che potevano essere modificati anche quelli, ma all'inizio questo ha portato ad una crisi, non ad un miglioramento immediato. Quando gli assiomi alla base della logica, dell'aritmetica e della geometria sono stati considerati relativi e sostituibili si è temuto che potesse crollare tutto il sistema matematico. Per fortuna non è andata così, anzi, i risultati più grossi sono stati ottenuti negli ultimi due secoli, ma la tua analisi mi sembra troppo ottimistica e priva di senso storico. Assiomatico allora non significava quello che significa oggi, gli assiomi prima della crisi erano sacrosanti.

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da EvaristeG » 15 set 2012, 13:29

Ma vedi, io parlo di matematica, tu di filosofia :) Non è importante cosa pensano i matematici mentre fanno matematica, è importante cosa fanno ... almeno per la matematica.

Assiomatico ha sempre voluto dire (anche nel mio discorso) questo: partire da cose che si ritengono vere e non si discutono per dedurre tutto il resto, ovvero, dato un teorema ridurlo agli assiomi tramite passaggi logici che dicono che, se gli assiomi sono veri, allora lo è il teorema. Poi, PERCHE' gli assiomi non si discutano e PERCHE' siano ritenuti veri, sono motivazioni che esulano, di loro natura, dall'ambito di studio della matematica. Se sia per intima convizione o se sia per comune convenzione, chissenefrega (matematicamente parlando). La matematica era ed è quella cosa che parte dagli assiomi e con la logica arriva ai teoremi. Ricavare gli assiomi sta, per definizione, fuori dalla matematica ... che uno lo faccia inducendo dall'osservazione del reale o tirando un d20, è uguale, finché gli assiomi sono coerenti.

E i risultati degli ultimi due secoli devono il loro essere anche ad altri fattori: la sempre maggiore facilità di comunicazione, il costruirsi di un ambito accademico internazionale, il formalismo nuovo degli anni Trenta, i forti movimenti di risistemazione e riscrittura del già fatto... insomma, direi che è riduttivo (e matematicamente falso, in buona parte) dire che sono dipesi dalla consapevolezza di poter cambiare gli assiomi. Più che altro da una maggiore padronanza della logica e del formalismo. Ed i problemi più grossi la matematica li ha avuti per rifondare la teoria degli insiemi, non per cambiare gli assiomi ... i problemi lì li hanno sollevati i kantiani (o ubriaconi urlanti, come disse Gauss :D ), per motivi legati alla filosofia e non alla matematica.

Robertopphneimer
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 17 set 2012, 10:05

EvaristeG ha scritto: Non ci siamo ... ma proprio sulla comprensione del testo. Io non ho capito LA TUA FRASE penso ora con la coprimilità basta dimostrare che ci sono infinite terne di numeri primi e coprimi ed allora ci saranno infinite terne ..però la situazione si fa comunque ardua.

Tu mi hai risposto spiegandomi IL TESTO DEL PROBLEMA ... NO, io voglio una spiegazione della frase qui sopra in corsivo per capire cosa c'entri l'induzione dal particolare all'universale con questo problema (o con qualunque problema di matematica).
Ok ,io per cercare la soluzione a questo problema ho ragionato così.
Non riuscivo con la geometria pura allora mi sono buttato sul fatto che il testo proponeva di dimostrarlo solo per le terne pitagoriche intere.

Io so che il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo è $ r=\frac{A}{p} $
dove A è l'area del triangolo e p il suo semiperimetro.

Da qui ho ricavato:

$ r=\frac{b c}{a+b+c} $
dove a è l'ipotenusa del triangolo rettangolo e b e c i rispettivi cateti.
Dovevo dimostrare che questo raggio fossi intero:
Passo 1) l'ho provato per la terna(3,4,5) sostituendo i valori.
Passo 2) Ho cecato di estenderlo a tutte le terne ma qui ho trovato una divisione: allora ho detto che valeva per tutte le terne $ (d3,d4,d5) $ con d naturale.
Passo3) ora però abbiamo anche terne che non hanno un fattore in comune (d) che partono da $ 3,4 $ e $ 5 $ad esempio come $ 5,12,13 $ e questo ha sollevato il mio problema.
E' vero qui si parla più d'induzione scientifica, cioè c'è una legge per tutte queste terne che non hanno un fattore in comune?
O trovo questa legge oppure devo provare terne su terne finché la vecchiaia non sopraggiunge :lol: .
Secondo me algebricamente non è possibile dimostrarlo....almeno non nel modo in cui sto procedendo, che ne pensi Evariste?
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da EvaristeG » 17 set 2012, 12:16

Che, ancora una volta, l'induzione non c'entra nulla. E' il modo sbagliato di porsi il problema ... ci sono due strade.
1. Scrivi un po' di terne pitagoriche "primitive" (cioè che non si ottengono l'una dall'altra semplicemente moltiplicando per un fattore) e cerchi di capire quale può essere una formula generale che produca tutte le terne pitagoriche, dopo di che la dimostri. (Questo è assolutamente impossibile, secondo me, con le terne pitagoriche, funziona piuttosto con le formule per le successioni per ricorrenza, per conteggi e cose simili, dove è chiaro rispetto a quale variabile bisogna scrivere la formula).
2. Ti poni il problema "come si trovano tutte le terne pitagoriche?" e lo risolvi.

Il caso 2 è meno disperato di quanto sembri: vuoi trovare tre interi positivi $a,b,c$ coprimi tali che
$$a^2+b^2=c^2$$
ovvero vuoi trovare due numeri razionali $p,q$ tali che
$$p^2+q^2=1$$
con $p=a/c$ e $q=b/c$. Ovvero vuoi trovare un angolo $\theta$ tale che $\sin(\theta),\ \cos(\theta)$ siano razionali.
Ora, posto $t=\tan(\theta/2)$, hai
$$\sin(\theta)=\frac{2t}{1+t^2}\qquad \cos(\theta)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\;.$$
Non è difficile vedere che $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$ sono razionali se e solo se $\tan(\theta/2)$ lo è. Quindi $t\in\mathbb{Q}$.
A questo punto hai che
$$p=\frac{2t}{1+t^2}\qquad q=\frac{1-t^2}{1+t^2}\;.$$
Ora, sicuramente
$$(2t, 1-t^2, 1+t^2)$$
al variare di $t\in\mathbb{Q}$ ti dà tutte le terne pitagoriche intere primitive (e un sacco di roba in più).
Basta accorgersi a questo punto che $t$ deve essere intero perché i tre numeri siano interi e dunque al variare di $t\in\mathbb{N}$ sta roba dà tutte le terne a cui sei interessato.

L'induzione non c'entra nulla.

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da ant.py » 17 set 2012, 12:42

EvaristeG ha scritto:
Il caso 2 è meno disperato di quanto sembri: vuoi trovare tre interi positivi $a,b,c$ coprimi tali che
$$a^2+b^2=c^2$$
ovvero vuoi trovare due numeri razionali $p,q$ tali che
$$p^2+q^2=1$$
con $p=a/c$ e $q=b/c$. Ovvero vuoi trovare un angolo $\theta$ tale che $\sin(\theta),\ \cos(\theta)$ siano razionali.
Ora, posto $t=\tan(\theta/2)$, hai
$$\sin(\theta)=\frac{2t}{1+t^2}\qquad \cos(\theta)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\;.$$
Non è difficile vedere che $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$ sono razionali se e solo se $\tan(\theta/2)$ lo è. Quindi $t\in\mathbb{Q}$.
A questo punto hai che
$$p=\frac{2t}{1+t^2}\qquad q=\frac{1-t^2}{1+t^2}\;.$$
Ora, sicuramente
$$(2t, 1-t^2, 1+t^2)$$
al variare di $t\in\mathbb{Q}$ ti dà tutte le terne pitagoriche intere primitive (e un sacco di roba in più).
Basta accorgersi a questo punto che $t$ deve essere intero perché i tre numeri siano interi e dunque al variare di $t\in\mathbb{N}$ sta roba dà tutte le terne a cui sei interessato.

L'induzione non c'entra nulla.

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 17 set 2012, 13:15

EvaristeG ha scritto: Ovvero vuoi trovare un angolo $\theta$ tale che $\sin(\theta),\ \cos(\theta)$ siano razionali.
Ora, posto $t=\tan(\theta/2)$, hai
$$\sin(\theta)=\frac{2t}{1+t^2}\qquad \cos(\theta)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\;.$$
Non ho capito questo passaggio scusa l'ignoranza...
Mi spiego non capisco come sei arrivato a porre una cosa del genere(conosco le formule),difficile da pensare !
EvaristeG ha scritto: L'induzione non c'entra nulla.
Bè se ci pensi sei passato da casi particolari(le prime terne senza fattori in comune) ad una formula generale,per poi dimostrare che il raggio è intero.
Ripeto intendo quella scientifica non quella prettamente matematica (sotto consiglio di @epimenide)

ps: complimenti comunque! sembrava molto più difficile,invece è molto elegante e snella ed..efficente :D .
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Kopernik » 17 set 2012, 14:34

Vorrei ricordare, per la cronaca, che il problema di cui si parla è stato proposto alla prova di ammissione alla Galileiana nel 2004, quindi non solo è risolvibile in un tempo finito (e non in maniera estensiva, provando tutte le possibili terne pitagoriche) ma deve essere affrontabile da uno studente che ha appena finito le superiori.
Ferma restando la soluzione elegante proposta da EvaristeG, ce n'è una elementare, che sintetizzo qui:
Si vuole dimostrare che $ R=\displaystyle\frac{bc}{a+b+c} $ è un numero intero. Si riscriva così:

$ R=\displaystyle\frac{bc}{a+b+c}=\displaystyle\frac{bc}{a+b+c}\cdot\displaystyle\frac{a-(b+c)}{a-(b+c)}=\displaystyle\frac{bc(a-b-c)}{a^2-(b+c)^2}=\displaystyle\frac{bc(a-b-c)}{a^2-b^2-c^2-2bc}=\frac{b+c-a}{2} $

Resta quindi soltanto da dimostrare che $ b+c-a $ è un numero pari. Ma la cosa è semplicissima: se $ b $ e $ c $ hanno a stessa parità, allora $ a $ è sicuramente pari e $ b+c-a $ è pari; se invece $ b $ e $ c $ hanno parità opposta, allora $ a $ è dispari, e nuovamente $ b+c-a $ è pari.
Non ho usato né induzione matematica, né induzione in alcun altro senso più o meno comprensibile.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da EvaristeG » 17 set 2012, 15:15

Robertopphneimer ha scritto: Non ho capito questo passaggio scusa l'ignoranza...
Mi spiego non capisco come sei arrivato a porre una cosa del genere(conosco le formule),difficile da pensare !
Provi di tutto e ad un certo punto proverai anche le formule in tangente dell'angolo metà; sapendo abbastanza matematica o avendo fatto abbastanza esercizi, riconosci che ti sono utili perché scrivono tutto in termini di un solo parametro ($t$) tramite funzioni razionali, rapporti di polinomi, e non funzioni trigonometriche (come accadeva per $\theta$).
Bè se ci pensi sei passato da casi particolari(le prime terne senza fattori in comune) ad una formula generale,per poi dimostrare che il raggio è intero.
No, in questo caso fare i casi particolari non ti dice nulla di come si fa quello generale, mi spiace. Per la formula generale non ti serve a niente aver fatto i casi particolari prima. Non ti dà nessun suggerimento.

Un altro modo di ricavare le terne pitagoriche sta qui.

@Kopernik: sì, certo! In realtà c'è una dimostrazione ancora più semplice, che porta alla tua stessa formula. Chiama $A$ l'angolo retto e $D$ la proiezione dell'incentro su $AB$, allora $AD$ è il raggio che cerchi, ma è anche la tangente da $A$ alla circonferenza inscritta, quindi è data dalla formula $(b+c-a)/2$.

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 19 set 2012, 21:31

Kopernik ha scritto:Vorrei ricordare, per la cronaca, che il problema di cui si parla è stato proposto alla prova di ammissione alla Galileiana nel 2004, quindi non solo è risolvibile in un tempo finito (e non in maniera estensiva, provando tutte le possibili terne pitagoriche) ma deve essere affrontabile da uno studente che ha appena finito le superiori.
Ferma restando la soluzione elegante proposta da EvaristeG, ce n'è una elementare, che sintetizzo qui:
Si vuole dimostrare che $ R=\displaystyle\frac{bc}{a+b+c} $ è un numero intero. Si riscriva così:

$ R=\displaystyle\frac{bc}{a+b+c}=\displaystyle\frac{bc}{a+b+c}\cdot\displaystyle\frac{a-(b+c)}{a-(b+c)}=\displaystyle\frac{bc(a-b-c)}{a^2-(b+c)^2}=\displaystyle\frac{bc(a-b-c)}{a^2-b^2-c^2-2bc}=\frac{b+c-a}{2} $

Resta quindi soltanto da dimostrare che $ b+c-a $ è un numero pari. Ma la cosa è semplicissima: se $ b $ e $ c $ hanno a stessa parità, allora $ a $ è sicuramente pari e $ b+c-a $ è pari; se invece $ b $ e $ c $ hanno parità opposta, allora $ a $ è dispari, e nuovamente $ b+c-a $ è pari.
Non ho usato né induzione matematica, né induzione in alcun altro senso più o meno comprensibile.
Avevo intuito che mi mancava poco ma non sapevo proprio dove mettere le mani,mi viene difficile guardare la cosa da diversi punti di vista(ancora),quindi mi sono complicato la vita inutilmente,grazie comunque per la tua semplice dimostrazione :D kopernik.
Si scusate se non hio ricordato di dire che era del 2004 della galileiana..edito??
@evariste,mi mancano ancora un pò di esercizi comunque quel consiglio sulla tangente a theta mezzi mi potrebbe tornare utile,magari trasformare un problema usando questa considerazione potrebbe semplificarmi la vita parecchie volte non credi?
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Epimenide » 19 set 2012, 22:36

EvaristeG ha scritto:Ma vedi, io parlo di matematica, tu di filosofia :) Non è importante cosa pensano i matematici mentre fanno matematica, è importante cosa fanno ... almeno per la matematica.

Assiomatico ha sempre voluto dire (anche nel mio discorso) questo: partire da cose che si ritengono vere e non si discutono per dedurre tutto il resto, ovvero, dato un teorema ridurlo agli assiomi tramite passaggi logici che dicono che, se gli assiomi sono veri, allora lo è il teorema. Poi, PERCHE' gli assiomi non si discutano e PERCHE' siano ritenuti veri, sono motivazioni che esulano, di loro natura, dall'ambito di studio della matematica. Se sia per intima convizione o se sia per comune convenzione, chissenefrega (matematicamente parlando). La matematica era ed è quella cosa che parte dagli assiomi e con la logica arriva ai teoremi. Ricavare gli assiomi sta, per definizione, fuori dalla matematica ... che uno lo faccia inducendo dall'osservazione del reale o tirando un d20, è uguale, finché gli assiomi sono coerenti.

E i risultati degli ultimi due secoli devono il loro essere anche ad altri fattori: la sempre maggiore facilità di comunicazione, il costruirsi di un ambito accademico internazionale, il formalismo nuovo degli anni Trenta, i forti movimenti di risistemazione e riscrittura del già fatto... insomma, direi che è riduttivo (e matematicamente falso, in buona parte) dire che sono dipesi dalla consapevolezza di poter cambiare gli assiomi. Più che altro da una maggiore padronanza della logica e del formalismo. Ed i problemi più grossi la matematica li ha avuti per rifondare la teoria degli insiemi, non per cambiare gli assiomi ... i problemi lì li hanno sollevati i kantiani (o ubriaconi urlanti, come disse Gauss :D ), per motivi legati alla filosofia
e non alla matematica.
È un discorso che in parte condivido, dipende dalla prospettiva dalla quale si guarda la cosa.

Comunque Gauss si riferiva a quelli che si son messi a puntualizzare su inezie discutendo Kant, effettivamente molti loro scritti fanno quasi ridere. Per citarne uno sveglio "Kant è una specie di autostrada con tante, tante pietre miliari. Poi arrivano tutti i cagnolini e ognuno deposita il suo contributo alle pietre miliari." (Albert Einstein).

Chiudo qui con l'OT, giuro xD

Robertopphneimer
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 20 set 2012, 15:32

Epimenide ha scritto: È un discorso che in parte condivido, dipende dalla prospettiva dalla quale si guarda la cosa.

Comunque Gauss si riferiva a quelli che si son messi a puntualizzare su inezie discutendo Kant, effettivamente molti loro scritti fanno quasi ridere. Per citarne uno sveglio "Kant è una specie di autostrada con tante, tante pietre miliari. Poi arrivano tutti i cagnolini e ognuno deposita il suo contributo alle pietre miliari." (Albert Einstein).

Chiudo qui con l'OT, giuro xD
Puoi discutere su una multa no su quello che dice Albert :lol:

Vabè in effetti è meglio chiudere...anche se era piacevole come discussione ed il problema mi sembrava interessante guardarlo sotto diversi punti di vista.
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