Il metodo d'induzione.

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Robertopphneimer
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Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 14 set 2012, 13:33

Premetto che so quanto sia utile e quanto sia notio, quanti tattati e roba varia ne sono stati scritti, vorrei solo aprirwe una discussione su un esercizio che mi sono ritrovato a fare e dei dubbi che ho.
Innanzitutto studiando filosofia ho visto le teorie di Stuart Mill che studia il metodo d'induzione come un apssaggio logicvo di casi particolari che per uniformità dell'esperienza vengono condotti al caso generale.
Hume invece la chiama "tendenza all'abitudine associativa", ed è questo che mi ha messo in crisi sull'esercizio.

Dovevo dimostare che il aggio di una circonferenza inscritta su un trinagolo rettangolo fosse intero.Sono arrivato tramite la formula $ r= \frac{A}{p} $
a dover dimostrare che quello valeva per tutte le terne ptagoriche esistenti. Ho pensato così :
prima legge : $ 2^na_0+2^nb_0=2^nc_0 $ dove$ a_0,b_0,c_0 $ sono rispettivamente 3,4 e 5 poi pensandoci ho capito che potevo applicare qualsiasi numero intero e quindi a psto di due alla n ho messo d come intero....un mio amico mi ha fatto notale che il passaggio da TUTTE le terne a quelle è semplice, quello inverso(cioè generalizzare e trovarle tutte e dimostrare che tutte determinano il aggio intero) sembra impossibile...come faccio a essere certo che una legge determini tutti i casi possibili?? ho solo che $ a^2+b^2=c^2 $ , ma il mio problema è più profondo, Einstein ha confutato Newton,la stessa geometria euclidea è stata confutata come caso particolare, ma allora quando generalizziamo come possiamo esser certi che contenga TUTTI i casi?
Vi ringrazio anticipatamente per la discussione che ad alcuni potebbe sembae anche stupida, ma quando si studia qualcosa come la matematica questi dubbi ossono distuggere tutta la base eretta.

ps: vi prego di non dimostrare per altre vie il problema geometrico , non era quello il mio intento, però se un'altra via che non debba dimostrare utte le terne pitagoriche possa risolvere questo mio problema(direi quasi metafisico-esistenziale...ben venga!
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ant.py
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da ant.py » 14 set 2012, 15:54

Einstein ha confutato newton perche la fisica non è una scienza certa, ed euclide é sempre li al suo posto..

Mi spiego: in matematica partiamo dagli assiomi che definiscono quello su cui stiamo operando, e dimostriamo teoremi che si basano su quegli assiomi; se il ragionamento é corretto, le conclusioni varranno fin quando valgono gli assiomi
Il fatto é che gli assiomi non possono essere confutati, prendere un insieme diverso di assiomi (come si è fatto per le geometrie non euclidee) non vuol dire invalidare quelli precedenti, semplicemente definire nuovi modelli.
In matematica tutto ciò è arbitrario

In fisica gli assiomi ci sono già, definiscono il nostro universo ma noi non li conosciamo; quindi possiamo credere che gli assiomi euclidei possano descriverei la geometria dell'universo, anzi no, bisogna rinunciare al quinto postulato, anzi no, dobbiamo trovarne un altro e così via.. Si fa così perche le basi da cui partiamo non sono certe, possiamo solo fare ipotesi e fare esperimenti che le confermino, e quando cio accadde per un gran numero di casi pensiamo che la teoria sia corretta.
ma ciò non ci garantisce che in futuro non venga evidenziato un caso particolare al cui riguardo le nostre conclusioni sono errate, e dobbiamo tornare sui nostri passi (ed é precisamente quello che è accaduto con Einstein e newton e il moto di mercurio)

D'altronde va anche detto che non si può essere certi che un sistema assiomatico definito sia coerente: vedi Godel
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Robertopphneimer
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 14 set 2012, 16:33

ant.py ha scritto:Einstein ha confutato newton perche la fisica non è una scienza certa, ed euclide é sempre li al suo posto..

Mi spiego: in matematica partiamo dagli assiomi che definiscono quello su cui stiamo operando, e dimostriamo teoremi che si basano su quegli assiomi; se il ragionamento é corretto, le conclusioni varranno fin quando valgono gli assiomi
Il fatto é che gli assiomi non possono essere confutati, prendere un insieme diverso di assiomi (come si è fatto per le geometrie non euclidee) non vuol dire invalidare quelli precedenti, semplicemente definire nuovi modelli.
In matematica tutto ciò è arbitrario

In fisica gli assiomi ci sono già, definiscono il nostro universo ma noi non li conosciamo; quindi possiamo credere che gli assiomi euclidei possano descriverei la geometria dell'universo, anzi no, bisogna rinunciare al quinto postulato, anzi no, dobbiamo trovarne un altro e così via.. Si fa così perche le basi da cui partiamo non sono certe, possiamo solo fare ipotesi e fare esperimenti che le confermino, e quando cio accadde per un gran numero di casi pensiamo che la teoria sia corretta.
ma ciò non ci garantisce che in futuro non venga evidenziato un caso particolare al cui riguardo le nostre conclusioni sono errate, e dobbiamo tornare sui nostri passi (ed é precisamente quello che è accaduto con Einstein e newton e il moto di mercurio)

D'altronde va anche detto che non si può essere certi che un sistema assiomatico definito sia coerente: vedi Godel
Come esplicazione è perfetta (o quasi) il problema è che non da una risposta..il che mi fa pensare che non ci sia,cioè intendo che non saremo mai sicuri di aver trovato assiomi,principi,postulati...etc alla base...,
hai letto il problema dell'incentro??Sulla via che ho percorso io quindi non c'è soluzione?
Doveri trovane un'altra che mi dia la certezza partendo da altri assiomi o elaborando un processo logico diverso?
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da EvaristeG » 14 set 2012, 17:05

0. Contestare la geometria euclidea?? Al massimo puoi contestare una multa...
1. Intanto il problema è falso: la circonferenza inscritta nel triangolo di lati 1,2,$\sqrt{5}$ ha raggio $2/(3+\sqrt{5})$.
2. In matematica l'unica induzione è quella del principio di induzione che dice che se $P(0)$ è vera e $P(n)$ implica $P(n+1)$ allora $P(n)$ è vera per ogni $n$ naturale.
3. Gli assiomi non si TROVANO, si scelgono. (come ha già detto ant.py) Questa è l'unica risposta.
4. Non ho capito cosa vuoi dire sulla soluzione del problema ... intanto non è vero che tutte le terne pitagoriche sono del tipo (3d,4d,5d) con d naturale: (5,12,13) è un controesempio, e poi data l'equazione $a^2+b^2=c^2$ se ne possono determinare tutte le soluzioni razionali, il che ti dà tutte le terne pitagoriche intere facendo il comun denominatore...
5. l'induzione di cui parli è una procedura che si utilizza nelle scienze e NON in matematica... quindi cosa stai cercando di chiedere?

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 14 set 2012, 17:38

EvaristeG ha scritto:0. Contestare la geometria euclidea?? Al massimo puoi contestare una multa...
1. Intanto il problema è falso: la circonferenza inscritta nel triangolo di lati 1,2,$\sqrt{5}$ ha raggio $2/(3+\sqrt{5})$.
2. In matematica l'unica induzione è quella del principio di induzione che dice che se $P(0)$ è vera e $P(n)$ implica $P(n+1)$ allora $P(n)$ è vera per ogni $n$ naturale.
3. Gli assiomi non si TROVANO, si scelgono. (come ha già detto ant.py) Questa è l'unica risposta.
4. Non ho capito cosa vuoi dire sulla soluzione del problema ... intanto non è vero che tutte le terne pitagoriche sono del tipo (3d,4d,5d) con d naturale: (5,12,13) è un controesempio, e poi data l'equazione $a^2+b^2=c^2$ se ne possono determinare tutte le soluzioni razionali, il che ti dà tutte le terne pitagoriche intere facendo il comun denominatore...
5. l'induzione di cui parli è una procedura che si utilizza nelle scienze e NON in matematica... quindi cosa stai cercando di chiedere?
Per il problema stupido io a non precisare...considera solo le terne intere. Per favore non postate la soluzione voglio arrivarci da solo :D penso ora con la coprimilità basta dimostrare che ci sono infinite terne di numeri primi e coprimi ed allora ci saranno infinite terne ..però la situazione si fa comunque ardua.

In quanto alla cosa che sto cercando di chiedere non penso abbia una risposta...il mio dubbio è più filosofico quindi non so se rientra in questo forum. Comunque non intendevo l'induzione matematica ma quella scientifica che si basa sulla logica di partire da casi particolari per arrivare ai generali.
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Epimenide » 14 set 2012, 18:30

Robertopphneimer ha scritto: Per il problema stupido io a non precisare...considera solo le terne intere. Per favore non postate la soluzione voglio arrivarci da solo :D penso ora con la coprimilità basta dimostrare che ci sono infinite terne di numeri primi e coprimi ed allora ci saranno infinite terne ..però la situazione si fa comunque ardua.

In quanto alla cosa che sto cercando di chiedere non penso abbia una risposta...il mio dubbio è più filosofico quindi non so se rientra in questo forum. Comunque non intendevo l'induzione matematica ma quella scientifica che si basa sulla logica di partire da casi particolari per arrivare ai generali.
Come ha detto EvaristeG, l'induzione matematica e quella scientifica sono due cose differenti. Quella matematica, quando è applicabile garantisce anche di essere corretta, è solo un metodo dimostrativo, come la dimostrazione per assurdo (anche questa sempre valida in un sistema logico in cui una proposizione è necessariamente strettamente vera o strettamente falsa, ma non sempre applicabile nella realtà fisica o in logiche non binarie). Quella scientifica è una cosa più complessa, per quanto discuterla (almeno se si è interessati alla gnoseologia e all'epistemologia) può essere molto stimolante, è un discorso troppo lungo e complesso e richiede un minimo di conoscenze filosofiche, per evitare di ripercorrere strade già ampiamente battute senza saperlo. Se vuoi dormire sonni tranquilli ed avere una spiegazione su come la scienza funzioni ed una confutazione (o un ampliamento) logica delle idee di Hume, ti consiglio di leggere Popper, in particolare la Logica della Scoperta Scientifica, se hai la preparazione adatta è illuminante, ti apre davvero gli occhi. Se lo trovi pesante prima studia un buon manuale di filosofia e poi tornaci sopra, se ritieni ne valga la pena. Comunque non so fino a che punto sia una discussione adatta a questo forum...

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da EvaristeG » 14 set 2012, 18:33

Robertopphneimer ha scritto: Per il problema stupido io a non precisare...considera solo le terne intere. Per favore non postate la soluzione voglio arrivarci da solo :D penso ora con la coprimilità basta dimostrare che ci sono infinite terne di numeri primi e coprimi ed allora ci saranno infinite terne ..però la situazione si fa comunque ardua.
Non ho capito questa frase...
In quanto alla cosa che sto cercando di chiedere non penso abbia una risposta...il mio dubbio è più filosofico quindi non so se rientra in questo forum. Comunque non intendevo l'induzione matematica ma quella scientifica che si basa sulla logica di partire da casi particolari per arrivare ai generali.
Decideremo se rientra o non rientra in questo forum quando capiremo LA DOMANDA .... quindi ancora una volta cosa stai domandando?
Riesci a formulare un interrogativo chiaro? Perché io non ho ancora capito quale sia il tuo dubbio...

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Epimenide » 14 set 2012, 18:41

Credo stia chiedendo in breve come fa la scienza ad essere valida se si fonda su uno strumento labile come l'induzione, e considerando che sulla questione si dibatte da secoli consiglierei più che chiedere a noi, di studiare gli epistemologi, almeno da Kant in poi. O se proprio vuoi ridurre al minimo il lavoro, studiare Popper che è il fondatore del falsificazionismo e del suo successivo miglioramento, teoria alla base della ricerca scientifica moderna.

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 14 set 2012, 18:45

Epimenide ha scritto:Credo stia chiedendo in breve come fa la scienza ad essere valida se si fonda su uno strumento labile come l'induzione, e considerando che sulla questione si dibatte da secoli consiglierei più che chiedere a noi, di studiare gli epistemologi, almeno da Kant in poi. O se proprio vuoi ridurre al minimo il lavoro, studiare Popper che è il fondatore del falsificazionismo e del suo successivo miglioramento, teoria alla base della ricerca scientifica moderna.
Hai centrato in pieno ;) .
Non credo che ridurre al minimo il lavoro sia una buona cosa su una questione così delicata, comunque comprendo che qui le idee divergono e che non ha soluzione...almeno universale.
EvaristeG ha scritto:
Robertopphneimer ha scritto: Per il problema stupido io a non precisare...considera solo le terne intere. Per favore non postate la soluzione voglio arrivarci da solo :D penso ora con la coprimilità basta dimostrare che ci sono infinite terne di numeri primi e coprimi ed allora ci saranno infinite terne ..però la situazione si fa comunque ardua.
Non ho capito questa frase...
Allora praticamente chiedeva di dimostrare che il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo aventi lati interi (a,b e c interi) sia anch'esso intero.

ps: volevo chiederlo anche per acquistare uno spirito critico sulle mie dimostrazioni, per perfezionarle,renderle più rigorose,più giuste ecco.
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Epimenide » 14 set 2012, 19:09

Robertopphneimer ha scritto: Hai centrato in pieno ;) .
Non credo che ridurre al minimo il lavoro sia una buona cosa su una questione così delicata, comunque comprendo che qui le idee divergono e che non ha soluzione...almeno universale.
Beh comunque c'è una linea di pensiero abbastanza uniforme ormai, si diverge su altre questioni, l'analisi di Popper ha decisamente dato un taglio netto alla questione induzione e metodo scentifico, le questioni sorte dopo sono su altri "livelli" del processo di ricerca. Però per comprendere bene Popper bisogna conoscere le idee dalle quali parte, per questo è un discorso lungo, se fatto a ritroso come si deve arriviamo ad Aristotele... Sulle questioni moderne vedi Heisenberg, per farti un'idea.

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Robertopphneimer » 14 set 2012, 19:15

Epimenide ha scritto:
Robertopphneimer ha scritto: Hai centrato in pieno ;) .
Non credo che ridurre al minimo il lavoro sia una buona cosa su una questione così delicata, comunque comprendo che qui le idee divergono e che non ha soluzione...almeno universale.
Beh comunque c'è una linea di pensiero abbastanza uniforme ormai, si diverge su altre questioni, l'analisi di Popper ha decisamente dato un taglio netto alla questione induzione e metodo scentifico, le questioni sorte dopo sono su altri "livelli" del processo di ricerca. Però per comprendere bene Popper bisogna conoscere le idee dalle quali parte, per questo è un discorso lungo, se fatto a ritroso come si deve arriviamo ad Aristotele... Sulle questioni moderne vedi Heisenberg, per farti un'idea.
Capisco bè aristotele l'ho già fato ed anche kant ,è Stuard Mill che mi ha messo principalmente questo dubbio esistenziale dicendo appunto che l'induzione(in generale) non passa effettivamente da casi particolari al generale ma dal particolare ad un altro ed ancora ed ancora..perciò è possibile che l'n-esimo caso confuti il teorema generale,comunque questo è solo un problema che c'entra poco con l'applicazione degli assiomi in matematica.Giusto?
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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Epimenide » 14 set 2012, 19:54

Robertopphneimer ha scritto: Capisco bè aristotele l'ho già fato ed anche kant ,è Stuard Mill che mi ha messo principalmente questo dubbio esistenziale dicendo appunto che l'induzione(in generale) non passa effettivamente da casi particolari al generale ma dal particolare ad un altro ed ancora ed ancora..perciò è possibile che l'n-esimo caso confuti il teorema generale,comunque questo è solo un problema che c'entra poco con l'applicazione degli assiomi in matematica.Giusto?
Beh a scuola avrai anche fatto analisi, ma non credo tu sia pronto per un esame di Analisi I. Comunque sì, dici bene, il principio di induzione in matematica è uno strumento che può essere applicato solo in certe condizioni, e quando queste sono soddisfatte il risultato che ottieni è valido, fine. L'induzione come metodo scientifico è un'altra cosa, e li ha senso discuterne. Non confonderti, nell'elettromagnetismo si usa pure la parola induzione, ed è ancora un'altra cosa, è una parola con più significati, quando leggi induzione devi capire bene in che ambito se ne parla.

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da EvaristeG » 14 set 2012, 22:08

Robertopphneimer ha scritto:
EvaristeG ha scritto:
Robertopphneimer ha scritto: Per il problema stupido io a non precisare...considera solo le terne intere. Per favore non postate la soluzione voglio arrivarci da solo :D penso ora con la coprimilità basta dimostrare che ci sono infinite terne di numeri primi e coprimi ed allora ci saranno infinite terne ..però la situazione si fa comunque ardua.
Non ho capito questa frase...
Allora praticamente chiedeva di dimostrare che il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo aventi lati interi (a,b e c interi) sia anch'esso intero.
Non ci siamo ... ma proprio sulla comprensione del testo. Io non ho capito LA TUA FRASE penso ora con la coprimilità basta dimostrare che ci sono infinite terne di numeri primi e coprimi ed allora ci saranno infinite terne ..però la situazione si fa comunque ardua.

Tu mi hai risposto spiegandomi IL TESTO DEL PROBLEMA ... NO, io voglio una spiegazione della frase qui sopra in corsivo per capire cosa c'entri l'induzione dal particolare all'universale con questo problema (o con qualunque problema di matematica).

E sto ignorando tutto il resto perché non c'entra una cippa con la matematica ... nel senso che la matematica non è una scienza nel senso moderno e a lei non si applica la maggior parte delle teorie epistemologiche, dall'empirismo a Popper.


PS: in realtà l'induzione aristotelica è quello che in matematica si chiama EURISTICA, ma non è un processo dimostrativo ...è più un modo per "avere le idee giuste". C'entra più con il trovare la strategia corretta, che non con il trovare la dimostrazione corretta...

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da Epimenide » 15 set 2012, 01:05

EvaristeG ha scritto: E sto ignorando tutto il resto perché non c'entra una cippa con la matematica ... nel senso che la matematica non è una scienza nel senso moderno e a lei non si applica la maggior parte delle teorie epistemologiche, dall'empirismo a Popper.


PS: in realtà l'induzione aristotelica è quello che in matematica si chiama EURISTICA, ma non è un processo dimostrativo ...è più un modo per "avere le idee giuste". C'entra più con il trovare la strategia corretta, che non con il trovare la dimostrazione corretta...
Ma sì, lo davo per scontato che non si parla di matematica, infatti ho anche detto che non credo sia il forum adatto.

Vedere un metodo euristico nell'induzione aristotelica è un'interpretazione interessante, ed una buona analisi, ma solo col senno di poi, non è certo quello che si intendeva parlandone prima di Kant.

PS comunque convenzionalismo, formalismo e intuizionismo sono le controparti strette delle filosofie scientifiche nella filosofia matematica. Ma più che altro si occupano di come sia nata una matematica, come il sistema in base dieci sia prevalso sugli altri, del concetto di numero, processi di astrazione e cose simili, quindi sì, con l'epistemologia centra poco, più che altro le idee alla base sono simili.

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Re: Il metodo d'induzione.

Messaggio da EvaristeG » 15 set 2012, 01:40

La matematica procede, da prima di Aristotele, per metodo assiomatico (cosa che a Platone non andò mai giù e fece sì che nella Repubblica lui parlasse della matematica come una conoscenza inferiore), partendo da assiomi ingiustificati e da non giustificare ... quindi è solo ovvio che l'induzione aristotelica non vi trovi posto. L'unico universale in matematica sono i teoremi e non vi sono "particolari" ... l'unico particolare plausibile sono gli esempi concreti e imperfetti realizzabili da qualcuno che la studia e l'unica strada che porta ai primi dai secondi è l'euristica, che però non ha dignità formale. Tutto qui. Poi, prima di Kant o dopo Fichte, alla matematica tipicamente importa poco ... non essendo scienza, gode di ottima vita eterna in ogni suo risultato.

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