L'Ultimo Teorema di Fermat (UTF)
Inviato: 29 set 2011, 12:50
Pierre de Fermat era un magistrato francese,vissuto nel Seicento,con l'hobby della matematica. Nonostante fosse un dilettante nel campo della matematica,egli aveva ottenuto risultati più importanti di quelli avuti da matematici "professionisti" dell'epoca: vorrei ricordare che Fermat fu "l'ideatore" dei concetti fondamentali del calcolo infinitesimale,il cui concepimento viene attribuito,per tradizione,a Newton e a Leibniz.
Era appassionato di matematica antica greca ed è probabile che siano stati due matematici dell'epoca,Archimede e Eudosso,ad ispirarlo nell'elaborazione del calcolo infinitesimale. Studiò a Tolosa e a trent'anni divenne Commissario alle Richieste,sposò una cugina della madre ed ebbe cinque figli.
Uno di questi,Clément Samuel,divenne l'esecutore testamentario "scientifico" del padre ed è grazie a lui che ora possiamo conoscere il celebre Ultimo Teorema di Fermat (UTF).
Samuel de Fermat si era,infatti,reso conto dell'importanza di quel teorema annotato a margine di un libro e lo aggiunse all'opera di Diofanto,da lui ripubblicata.
Ne parlerò più diffusamente in seguito,ma per ora ricordo che Fermat ci ha lasciato anche la teoria dei numeri,nella quale il concetto di numero primo è fondamentale.
Ad esempio,il numero 11 è primo perché non esistono interi (a parte 1 e lo stesso 11) che moltiplicati tra loro diano 11.
Il numero 6 non è primo perché è il prodotto di due numeri (2x3=6) diversi dal numero stesso e dall'unità.
Il fatto che,in apparenza,la successione dei numeri primi abbia una struttura casuale (sull'ipotesi di non casualità dei numeri primi tornerò a scrivere un articolo apposito) rende la teoria dei numeri affascinante e,allo stesso tempo,priva di unità,con implicazioni che non vanno al di là dell'ambito strettamente matematico. Tra i testi antichi latini dedicati alla matematica,tanto cari a Fermat,ce n'era uno,in particolare,scritto da Diofanto,unmatematico greco.
Nel 1637,a margine di un problema di scomposizione di un quadrato in due quadrati,facente parte dell'Arithmetica di Diofanto,Fermat scrisse una nota in latino: "D'altra parte non è possibile scomporre un cubo in due cubi,un biquadrato in due biquadrati o,in generale,ogni potenza,eccetto il quadrato,in due potenze con lo stesso esponente. Di ciò ho scoperto una dimostrazione veramente meravigliosa. Tuttavia la ristrettezza del margine non basterebbe a contenerla".
Ciò significa che,mentre il quadrato di un numero intero è scomponibile in una somma di quadrati di altri due numeri,come sappiamo dal Teorema di Pitagora,non è possibile fare la stessa cosa per il cubo e per tutte le altre potenze superiori a due.
Matematicamente,si scrive: x^n + y^n = z^n non ha soluzioni intere se n>2,cioè se n è maggiore di 2.
Per risolvere questo enigma sono stati utilizzati,in epoca moderna,i computer che hanno verificato l'esattezza dell'UTF per numeri grandissimi,ma non per tutti i numeri. In matematica il fatto di verificare la validità di un enunciato per molti numeri,ma non per tutti,non costituisce una dimostrazione.
Si possono provare miliardi di numeri ma ne rimangono comunque infiniti altri da controllare e quindi ciò non dimostra nulla dal punto di vista matematico.
Dopo più di tre secoli e mezzo,nel 1993,Andrew Wiles,matematico dell'Università di Princeton,annunciò di aver risolto l'UTF dopo un lavoro durato sette anni.
In realtà,la dimostrazione dell'UTF non è opera soltanto di Wiles ma il riconoscimento spetta,in uguale misura,ad un gran numero di matematici contemporanei di Wiles ma anche precedenti all'epoca attuale,a partire dai tempi dello stesso Fermat.
Senza Kummer non ci sarebbe stata la teoria dei "numeri ideali",senza gli ideali non sarebbe esistita l'opera di Mazur,senza Mazur non ci sarebbe stata la "Congettura di Frey",senza quest'ultima non sarebbe stata possibile la dimostrazione della "Congettura di Shimura-Taniyama",che implica l'UTF,da parte di Ribet,e così via.
Possiamo dire,senza temere di essere smentiti,che la storia dell'UTF ripercorre tutte le tappe dello sviluppo del pensiero matematico antico e moderno: tre secoli e mezzo di storia matematica !
Ma la domanda "reale" che mi pongo,e che propongo anche a voi,è questa: quando Fermat scrisse quella glossa,aveva veramente in mente una "meravigliosa dimostrazione" del suo ultimo teorema oppure no,tenendo conto che,per dimostrarlo,c'è voluta molta più matematica di quella che Fermat stesso poteva conoscere ?
Alla luce del fatto che tale dimostrazione abbia richiesto un "impianto" matematico notevole,tramite l'unificazione di settori apparentemente eterogenei tra di loro,sarei tentato di rispondere di no,ma la mia non è una certezza.
D'altra parte,lo stesso Fermat,negli anni successivi alla scrittura di quell'annotazione,non ne parlo più: forse non lo dimostrò veramente,oppure pensava che il suo metodo per provare il caso n=3 fosse una soluzione generale,o magari,ancora,se ne dimenticò.
Il fatto che esista una dimostrazione complessa ed avanzata non vuol dire che non possa esisterne una più semplice e Fermat conosceva molta matematica "moderna" che oggi è andata perduta,ma questo noi non lo sapremo mai.
Buona lettura e a presto.
Era appassionato di matematica antica greca ed è probabile che siano stati due matematici dell'epoca,Archimede e Eudosso,ad ispirarlo nell'elaborazione del calcolo infinitesimale. Studiò a Tolosa e a trent'anni divenne Commissario alle Richieste,sposò una cugina della madre ed ebbe cinque figli.
Uno di questi,Clément Samuel,divenne l'esecutore testamentario "scientifico" del padre ed è grazie a lui che ora possiamo conoscere il celebre Ultimo Teorema di Fermat (UTF).
Samuel de Fermat si era,infatti,reso conto dell'importanza di quel teorema annotato a margine di un libro e lo aggiunse all'opera di Diofanto,da lui ripubblicata.
Ne parlerò più diffusamente in seguito,ma per ora ricordo che Fermat ci ha lasciato anche la teoria dei numeri,nella quale il concetto di numero primo è fondamentale.
Ad esempio,il numero 11 è primo perché non esistono interi (a parte 1 e lo stesso 11) che moltiplicati tra loro diano 11.
Il numero 6 non è primo perché è il prodotto di due numeri (2x3=6) diversi dal numero stesso e dall'unità.
Il fatto che,in apparenza,la successione dei numeri primi abbia una struttura casuale (sull'ipotesi di non casualità dei numeri primi tornerò a scrivere un articolo apposito) rende la teoria dei numeri affascinante e,allo stesso tempo,priva di unità,con implicazioni che non vanno al di là dell'ambito strettamente matematico. Tra i testi antichi latini dedicati alla matematica,tanto cari a Fermat,ce n'era uno,in particolare,scritto da Diofanto,unmatematico greco.
Nel 1637,a margine di un problema di scomposizione di un quadrato in due quadrati,facente parte dell'Arithmetica di Diofanto,Fermat scrisse una nota in latino: "D'altra parte non è possibile scomporre un cubo in due cubi,un biquadrato in due biquadrati o,in generale,ogni potenza,eccetto il quadrato,in due potenze con lo stesso esponente. Di ciò ho scoperto una dimostrazione veramente meravigliosa. Tuttavia la ristrettezza del margine non basterebbe a contenerla".
Ciò significa che,mentre il quadrato di un numero intero è scomponibile in una somma di quadrati di altri due numeri,come sappiamo dal Teorema di Pitagora,non è possibile fare la stessa cosa per il cubo e per tutte le altre potenze superiori a due.
Matematicamente,si scrive: x^n + y^n = z^n non ha soluzioni intere se n>2,cioè se n è maggiore di 2.
Per risolvere questo enigma sono stati utilizzati,in epoca moderna,i computer che hanno verificato l'esattezza dell'UTF per numeri grandissimi,ma non per tutti i numeri. In matematica il fatto di verificare la validità di un enunciato per molti numeri,ma non per tutti,non costituisce una dimostrazione.
Si possono provare miliardi di numeri ma ne rimangono comunque infiniti altri da controllare e quindi ciò non dimostra nulla dal punto di vista matematico.
Dopo più di tre secoli e mezzo,nel 1993,Andrew Wiles,matematico dell'Università di Princeton,annunciò di aver risolto l'UTF dopo un lavoro durato sette anni.
In realtà,la dimostrazione dell'UTF non è opera soltanto di Wiles ma il riconoscimento spetta,in uguale misura,ad un gran numero di matematici contemporanei di Wiles ma anche precedenti all'epoca attuale,a partire dai tempi dello stesso Fermat.
Senza Kummer non ci sarebbe stata la teoria dei "numeri ideali",senza gli ideali non sarebbe esistita l'opera di Mazur,senza Mazur non ci sarebbe stata la "Congettura di Frey",senza quest'ultima non sarebbe stata possibile la dimostrazione della "Congettura di Shimura-Taniyama",che implica l'UTF,da parte di Ribet,e così via.
Possiamo dire,senza temere di essere smentiti,che la storia dell'UTF ripercorre tutte le tappe dello sviluppo del pensiero matematico antico e moderno: tre secoli e mezzo di storia matematica !
Ma la domanda "reale" che mi pongo,e che propongo anche a voi,è questa: quando Fermat scrisse quella glossa,aveva veramente in mente una "meravigliosa dimostrazione" del suo ultimo teorema oppure no,tenendo conto che,per dimostrarlo,c'è voluta molta più matematica di quella che Fermat stesso poteva conoscere ?
Alla luce del fatto che tale dimostrazione abbia richiesto un "impianto" matematico notevole,tramite l'unificazione di settori apparentemente eterogenei tra di loro,sarei tentato di rispondere di no,ma la mia non è una certezza.
D'altra parte,lo stesso Fermat,negli anni successivi alla scrittura di quell'annotazione,non ne parlo più: forse non lo dimostrò veramente,oppure pensava che il suo metodo per provare il caso n=3 fosse una soluzione generale,o magari,ancora,se ne dimenticò.
Il fatto che esista una dimostrazione complessa ed avanzata non vuol dire che non possa esisterne una più semplice e Fermat conosceva molta matematica "moderna" che oggi è andata perduta,ma questo noi non lo sapremo mai.
Buona lettura e a presto.