La teoria quantistica

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Isham
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La teoria quantistica

Messaggio da Isham » 27 set 2011, 11:28

Cari amici,
è veramente un peccato che la maggior parte delle persone non possa farsi un'idea,anche soltanto vagamente sommaria,delle grandi scoperte che sono scaturite da ricerche nei campi più avanzati della fisica moderna,in particolare in quello che è alla base della concezione attuale del mondo,vale a dire la meccanica quantistica.
Innanzitutto è singolare il fatto che tale teoria non sia,per vari motivi che vedremo meglio in seguito,riuscita ad oltrepassare i limiti di una conoscenza che attiene ad una ristretta cerchia di "addetti ai lavori",soprattutto se si pensa che la stragrande parte delle innovazioni tecnologiche più recenti si basa su effetti quantistici: penso,ad esempio,ai semiconduttori,e quindi a tutta la tecnologia dei calcolatori che ne deriva,e ai superconduttori,tanto per citare alcuni sviluppi,per così dire,"sbalorditivi".
Siamo oggi alla soglia di quello che amo definire "il sogno di Feynman",grandissimo fisico americano recentemente scomparso,e cioè la realizzazione di computer quantistici che consentiranno un salto qualitativo notevole nel settore della computazione,un salto che oserei dire "rivoluzionario".
Ma c'è un altro fattore che,a mio avviso,è ancor più critico: il fatto che mentre altre teorie siano,in qualche modo,divenute parte integrante della nostra cultura comune,come ad es. l'evoluzionismo di Darwin e la teoria della relatività di Einstein,nulla di simile sia accaduto per la teoria quantistica che domina la scena scientifica moderna da oltre ottanta anni (ancora più scandaloso è il fatto che,nella moderna scuola secondaria superiore e in particolare nei licei scientifici,non si faccia alcun cenno a tale teoria).
Perché ritengo critico tale fattore ?
Uno degli aspetti più peculiari di questa teoria consiste nel fatto che essa pone dei problemi di estrema rilevanza concettuale e filosofica,problemi che non possono non interessare ciascuno di noi che abbia una certa "curiosità" intellettuale,e che richiedono una attenta riflessione da parte di filosofi ed umanisti.
E' molto facile rispondere che la teoria quantistica richiederebbe conoscenze matematiche avanzate,per così dire,da "iniziati",tali da vanificare qualunque tentativo di capirne gli elementi più essenziali: anche se non c'è dubbio che l'apparato matematico atto a comprendere tali elementi sia particolarmente ostico,sono soltanto gli aspetti attinenti alla nostra "vita reale" che è rilevante rendere accessibili a tutti.
Premesso ciò,mi propongo di essere molto semplice dal punto di vista tecnico ma molto rigoroso sul piano concettuale (anche se non formale) senza lasciare spazio a "fughe" irrazionali del tipo di quelle che riguardano presunti agganci con la parapsicologia,fenomeni paranormali,filosofie orientali e così via.
Ebbene,noi possiamo identificare alcuni processi fisici molto semplici che sono assolutamente incomprensibili secondo le teorie "classiche",cioè in base a quegli schemi concettuali che risalgono a quel periodo di tempo che va dalla "rivoluzione" galileiana fino al 1800 e che comprendono la meccanica newtoniana e l'elettromagnetismo di Maxwell.
Come si può,ad esempio,spiegare il fatto che il colore di un corpo dipende dalla sua temperatura ?
E' un mistero che rimase senza soluzione fino a quando Planck non fece un'ipotesi che sconvolse tutte le leggi classiche sulle radiazioni elettromagnetiche.
Come è possibile che tutti gli atomi di uno stesso elemento (ad es.,l'idrogeno) abbiano le stesse identiche proprietà fisiche comunque siano prodotti ?
Ciò è del tutto impossibile,ad esempio,per il nostro sistema solare in cui le orbite dei pianeti,come sappiamo (leggi i miei articoli sulla "Teoria del Caos",prossimamente disponibili),dipendono in modo critico dalle condizioni iniziali.
Eppure,nel caso in cui si passi da un atomo ad un altro con un elettrone in più o in meno,le proprietà di tali atomi cambiano radicalmente.
Togliendo allo Xeno,che è un gas inerte,un elettrone,un protone e qualche neutrone,otterrò lo Iodio che ha un'alta affinità elettronica e quindi un comportamento chimico-fisico radicalmente differente.
Anche questo fenomeno non potrebbe accadere per il nostro sistema solare in cui non si avrebbero importanti cambiamenti di comportamento del sistema,se togliessimo un pianetino (considerando il Sole un pò più leggero).
Infine,un altro fenomeno che crea conflitto con la dinamica classica è quello della stabilità degli atomi: sappiamo che gli elettroni si muovono su orbite circolari o ellittiche e hanno quindi una accelerazione.
Secondo le equazioni di Maxwell,una carica accelerata emette radiazioni,cioè irradia.
Irradiando,perde energia ed è destinata a cadere,in un intervallo di tempo molto breve,sul nucleo.
Si deve dedurre che ciascun atomo dovrebbe avere una vita media molto breve in modo da manifestare le sue proprietà costanti solo per intervalli di tempo pari a frazioni di secondo,il che contraddice le osservazioni reali.
Da tutti questi e da molti altri fatti è scaturita quella crisi della fisica classica che,come spesso accade anche nella vita reale in tempi di crisi ideologiche,conduce ad una vera e propria rivoluzione (scientifica,nel nostro caso) che porterà all'elaborazione della teoria quantistica moderna.
A presto e buona lettura

amatrix92
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da amatrix92 » 27 set 2011, 14:09

Ciao, sono completamente d'accordo sul fatto che sia un peccato che non venga quasi mai approfondita al liceo, però non è sempre così. Il mio programma di Fisica di 5° è stato ESCLSIVAMENTE meccanica quantistica. E il professore ci ha fornito sue dispense per studiare. Ti faccio i complimenti per l'iniziativa e sarò felice di contribuire ad animare la discussione quando si arriverà ai temi caldi. Purtroppo ho tentato di passare da uno studio qualitativo ad uno quantitativo ma mi sono reso conto che per le mie basi matematiche stavo sbattendo la testa contro un muro. In ogni caso potresti identificarti? Sei un Fisico? Un matematico? uno studente?Un professore? O semplicemente un appassionato?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: La teoria quantistica

Messaggio da Kopernik » 27 set 2011, 15:38

Isham ha scritto:scandaloso è il fatto che,nella moderna scuola secondaria superiore e in particolare nei licei scientifici,non si faccia alcun cenno a tale teoria
Devo smentirti: in qualunque liceo si studia, con l'isegnante di Scienze, il modello qualitativo di atomo previsto dalla Meccanica Quantistica. Lo studente di liceo quindi conosce il principio di indeterminazione, il principio di esclusione e i concetti fondamentali.
Come dice giustamente Amatrix le basi matematiche necessarie per uno studio della Meccanica Quantistica sono fuori dalla portata di uno studente liceale. Io insegno Matematica e Fisica e alcuni anni fa ho preparato (e proposto a una quinta sperimentale) una serie di lezioni sull'atomo di Bohr; oltre non si può andare.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Re: La teoria quantistica

Messaggio da Drago96 » 27 set 2011, 16:07

Kopernik ha scritto:[ una serie di lezioni sull'atomo di Bohr; oltre non si può andare.
Perdonate la mia ignoranza... ma l'atomo di Bohr è il modello con nucleo formato da protoni e neutroni, intorno al quale orbitano gli elettroni? Perchè mi pare che quark e altre particelle fondamentali siano state introdotte abbastanza di recente...

Comunque sia, di protoni, neutroni, elettroni e loro "orbite"/livelli energetici ne abbiamo parlato/accennato già l'anno scorso in prima... :)

P.S: Ho appena letto un libro sulla zeta di Riemann, e per qualche pagina ha parlato di somiglianze/uguaglianze statistiche nei grafici di zeri e traiettorie di elettroni... Sebbene io abbia capito ben poco, c'è del miracoloso dietro a questa roba... :o
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da Claudio. » 27 set 2011, 16:56

In ogni caso ti sbagli di grosso se pensi che la relatività sia entrata a fare parte della cultura comune. Certo tutti conoscono il nome, tutti sanno, vagamente, chi sia Einstein, ma ti assicuro che la maggior parte delle persone non ha la minima idea di cosa significhi relatività, perchè la teoria si chiami così, sono convinti che lo spazio e il tempo siano assoluti(che è cosa, forse, assai più grave di non conoscere la quantistica) e non credo affatto che sappiano dell'interpretazione della gravità data nella relatività. Se passiamo alla classica poi poss dirti che a mio parere sono abbastanza le persone che credono che l'accellerazione di gravità dipenda anche dalla velocità orizontale di un corpo...diciamo che è la conoscenza generale della fisica che non esiste in chi non l'ha appositamente studiata.

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Re: La teoria quantistica

Messaggio da Kopernik » 27 set 2011, 19:12

Drago96 ha scritto: Perdonate la mia ignoranza... ma l'atomo di Bohr è il modello con nucleo formato da protoni e neutroni, intorno al quale orbitano gli elettroni? Perchè mi pare che quark e altre particelle fondamentali siano state introdotte abbastanza di recente...
Nell'atomo di Bohr gli elettroni orbitano intorno al nucleo ma solo in orbite fissate, e questo riesce a spiegare abbastanza bene le righe di emissione dei gas. Diciamo che è un tentativo notevole di far tornare i conti a posteriori, che ha aperto la strada a una descrizione più completa che è arrivata alcuni anni dopo.
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da amatrix92 » 27 set 2011, 20:42

Kopernik ha scritto:
Isham ha scritto:scandaloso è il fatto che,nella moderna scuola secondaria superiore e in particolare nei licei scientifici,non si faccia alcun cenno a tale teoria
Lo studente di liceo quindi conosce il principio di indeterminazione, il principio di esclusione e i concetti fondamentali.
Io insegno Matematica e Fisica e alcuni anni fa ho preparato (e proposto a una quinta sperimentale) una serie di lezioni sull'atomo di Bohr; oltre non si può andare.

Oltre si può andare e come! Breve carrellata del mio programma di Fisica:
Perchè nasce la teroia dei quanti? I vari modelli iniziali thomson bhor con i sucecssi di bhor e la sue contraddizioni. Studio spettri emisssione. Ipotesi de Broglie. Funzione d'onda di Schrodinger. Ipotesi di Schrodinger e relativa dimostrazione della sua impossibilità. Ipotesi di Born. Qualche calcolo con gli integrali per le probabilità di trovar la particella qui o lì. Ipotesi di kroning Uhlembeck e Goudsmit con relativa dimostrazione che non và. Relazioni di indeterminazione di heisemberg con dimostrazione a partire da ipotesi di Born. Principio di sovrapposizione. Lo scisma della comunità scientifica. L'interpretazione di chopenaghen. Tutti i dibattiti sui problemi dualismo onda corpuscolo e determinismo/indeterminismo. Studio di esperimenti quali doppia fenditura, interferometro di Mach -Zender e esperimenti sullo spin. La teoria di Bhom sui campi quantomeccanici e la dimostrazione che tutti gli esperimenti funzionano ugualemente. E infine la parte credo in assoluto più affascninante: Argomento EPR E teorema di Bell con ben 2 dimostrazioni e l'analisi approfondita dell'esperimento di Aspect. Sono andato a memoria quindi di sicuro ho lasciato qualcosa e l'ordine non è dei migliori. In ogni caso seguirò con attenzione le tue "lezioni" Isham sperando di imparare cose nuove sull'argomento. Concludo dicendo che sono molto grato al mio professore di liceo per avermi aperto la mente a tuttte queste problematiche che spesso nessuno conosce...
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: La teoria quantistica

Messaggio da floppino81892 » 27 set 2011, 21:01

È stato il mio argomento della maturità, direi che è stato molto apprezzato e sono anche riuscito a "sconvolgerli" col mitico gatto di Schrodinger, principio antropico, paradosso EPR...certo ho faticato non poco ad accettare alcune "cosette", come ad esempio il fatto che la materia non è fatta nè di onde nè di particelle, oppure che "...è solo l'atto di guardare un oggetto che fa collassare la sua funzione d'onda"(la luna continua ad esistere se nessuno la sta guardando?)

@amatrix92 Devi aver avuto davvero un professore in gamba :D io al quinto anno ho visto solo circuiti e poco altro :lol:

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julio14
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da julio14 » 28 set 2011, 00:39

Non vorrei fare la parte del pessimista, ma vedere certe cose in questo modo approssimativo mi pare abbia due sostanziali problemi: prima di tutto, il risultato finale è che lo studente/appassionato non conosce l'argomento. Pretendere di conoscere la fisica moderna senza la matematica è come pretendere di conoscere Dante senza leggerlo. Non che io sappia nulla di meccanica quantistica (sono un matematico), ma mi sono benissimo accorto, ai primi argomenti dei corsi di fisica che si allontanavano dall'esperienza comune, che finché non ti metti lì con gli strumenti matematici necessari l'unica cosa che puoi raggiungere è un'idea estremamente vaga basata analogie superficiali con cose più conosciute. Per esempio: la professoressa del liceo può benissimo avermi detto che dalle quattro formulette poco giustificate di elettromagnetismo si arrivano a prevedere delle "onde elettromagnetiche" (oggetti mistici) che poi altro non sono che la luce, ma finché non mi sono ricavato le equazioni di Maxwell e da quelle non sono arrivato a $\nabla^2E=\frac1{c^2}{\partial^2E\over{\partial t^2}}$ per me quelle sono sempre state parole vuote. Il fatto di usare la matematica non è semplicemente una questione di "vediamo quantitativamente com'è, qualitativamente lo sappiamo già", ma è proprio un problema di linguaggio: la musica la ascolti, la pittura la guardi, la fisica la "matematichi". Il secondo problema è che, visto appunto che quella raggiunta dallo studente/appassionato non è conoscenza vera, quello che ti rimane non è nient'altro che l'esaltazione da "oh, ma guarda che cose belle che si sono scoperte, ora le so anch'io". In realtà, finché non conosci una cosa, dire che è bella è abbastanza privo di senso. Se quindi il risultato è quello, non vedo cosa ci guadagni lo studente/appassionato... Avrebbe impiegato molto meglio il suo tempo ad imparare anche solo i rudimenti matematici per vedere una sola cosa, ma fatta bene. Quello che sto cercando di dire è che al liceo ho ricevuto molto più piacere e ho imparato molte più cose facendo i primi esercizietti dei giochi di Archimede che leggendo 600 pagine di un libro di Marcus du Sautoy sull'ipotesi di Riemann.

p.s. @Isham: quali sono gli "aspetti attinenti alla nostra "vita reale" che è rilevante rendere accessibili a tutti" della meccanica quantistica? Io di meccanica quantistica non ne so nulla, ma confesso che mi stupirei molto se tu riuscissi, nelle poche (dove poche va da 0 a svariate migliaia, vista la complessità dell'argomento) righe che potrò leggere qua sul forum, a rivoluzionare la mia visione su un qualunque aspetto della mia "vita reale". Non credi che poca meccanica, o al più un po' di elettromagnetismo e termodinamica siano molto più "attinenti alla nostra vita reale"? Ad esempio, le poche cose che so di fisica mi permettono (o almeno me lo permettevano al momento dell'esame... :D ) di spiegare perché la terra gira intorno al sole e quindi perché ci sono le stagioni, perché funzionano le bussole, perché funziona un termometro a mercurio, perché sono in grado di stare in equilibrio in bici... E questi "perché" non sono chiacchiere poco giustificate, ma equazioni.
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da Drago96 » 28 set 2011, 15:25

julio14 ha scritto:Avrebbe impiegato molto meglio il suo tempo ad imparare anche solo i rudimenti matematici per vedere una sola cosa, ma fatta bene. Quello che sto cercando di dire è che al liceo ho ricevuto molto più piacere e ho imparato molte più cose facendo i primi esercizietti dei giochi di Archimede che leggendo 600 pagine di un libro di Marcus du Sautoy sull'ipotesi di Riemann.
E' il libro di cui stavo parlando... :)
Certamente capisco molto di più gli esercizi di Archimede/Febbraio che non quel libro, ma almeno so che esiste e magari in quinta, con qualcosa in più sulle spale potrei aprezzarlo, anche se ho l'impressione che ci vada anche qualche annetto di università per capirlo appieno...
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da Kopernik » 28 set 2011, 15:40

amatrix92 ha scritto:Oltre si può andare e come!
Sei certamente stato uno studente molto fortunato e hai avuto un ottimo insegnante. Però come ha sottolineato julio14 bisogna fare molta attenzione: siete riusciti a fare tutto ciò in modo scientifico oppure con un bel po' di divulgazione? La tua classe ha avuto il completo dominio della Matematica che ci sta sotto? Qualunque argomento di qualunque scienza può essere "raccontato" in maniera più o meno accattivante, anche in modo corretto ma divulgativo. La Meccanica quantistica, come la Relatività generale, come la teoria della luce di Maxwell, richiedono molta più matematica di quanto ha a disposizione lo studente liceale (e spesso anche l'insegnante...). Io sono convinto che a scuola si debba fare scienza e non divulgazione, perciò preferisco non spingermi troppo in avanti. Naturalmente la mia è un'opinione personale e infatti molti insegnanti non sono d'accordo e lasciano ampio spazio alla divulgazione "giornalistica".
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da julio14 » 28 set 2011, 15:56

Drago96 ha scritto:anche se ho l'impressione che ci vada anche qualche annetto di università per capirlo appieno...
Eh già... Io ho raggiunto le conoscenze per capire il semplice enunciato dell'ipotesi di Riemann dopo il secondo anno di università (cioè so cosa vuol dire che la $\zeta$ è l'estensione olomorfa a $\mathbb{C}\diagdown\{1\}$ di $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^x}$, anche se non so come si dimostri che tale estensione esista) ed ho giusto un'idea di cosa abbia a che fare con i numeri primi, ma non so che ricadute avrebbe un'eventuale dimostrazione e quindi il perché della sua importanza. In definitiva, non sono in grado di dire né "cavolo che figata" né "ma che due balle perché mai qualcuno dovrebbe studiarla". Poi magari sono io che sono scarso, non lo so, ma almeno stando all'offerta didattica di Pisa la realtà è questa. Ci sono migliaia di argomenti che un liceale potrebbe apprezzare di più, l'unico "vantaggio" che ha l'ipotesi di Riemann è quest'aura di miticità data dal fatto che non è ancora stata dimostrata.
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da <enigma> » 28 set 2011, 16:51

Scusate ma visto che il discorso si è spostato su questa linea non posso non intervenire!
Innanzitutto: non leggete i libri di Du Sautoy! Non perché lui mi stia antipatico, ma perché leggerli è una cosa assolutamente deleteria per gente con un'istruzione matematica liceale! Mi è capitato (e più di una volta!) che mi contattasse un bimbominkia 14/15enne perché sembrava che io fossi un po' più bravo in matematica di loro, e poi la conversazione è stata sostanzialmente "perché mi vuoi fare delle domande?" "voglio dimostrare l'ipotesi di Riemann!" "qual è la matematica che stai studiando adesso?" "le equazioni di primo grado", e se ce l'avessi avuto davanti gli avrei pure sputato in un occhio! Se non sai scalare neanche un via di I grado non pretendi di fare la parete nord del Cervino! Ecco, la divulgazione è quasi sempre fatta nel modo peggiore possibile, perché si dà un'idea sbagliata della matematica, e cani e porci vi si buttano (vedi gli articoli di Bonacci). Condivido appieno le opinioni di julio14 e Kopernik e specialmente gli ultimi post, e confermo che al liceo è impossibile fare la meccanica quantistica, o molti altri argomenti, se non a livello da idioti (=da articolo divulgativo), e si dovrebbe avere il coraggio di ammettere una volta per tutte che non si può insegnare qualsiasi cosa a chiunque, bisogna avere l'umiltà di fare argomenti al livello della platea: meglio approfondire meccanica, termodinamica o elettromagnetismo che fare un anno di meccanica quantistica assolutamente inutile perché tanto con tutta probabilità si impara così male, in maniera così approssimativa e poco rigorosa e approfondita, che all'università occorrerà ripartire da zero. E ne avrei ancora di cose da dire, ma mi fermo qui che se no mi viene il mal di pancia.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

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Re: La teoria quantistica

Messaggio da amatrix92 » 28 set 2011, 19:06

Come chiaramente avevo intuito Kopernik la nostra trattazione è stato per la maggior parte divulgative. Non usamvamo la matematica " a metà" o "un po' " . Quelle parti che potevamo matematicamente capire venivano fatte in modo approfondite. Le altre venivano fatte in modo più filosofico / divulgativo soffermandosi sui problemi che ogni teoria e ipetesi tirava su!
Enigma non sono d'accordo con te! Altro non è che un ingiustizia rendere la conoscenza di un argomento così elitario. Se io sono un medico/architetto/operaio/avvocato/studente liceale e voglio sapere come cacchio davvero funzionano gli atomi (e non solo gli atomi ma in sostanza tutta la materia) non mi devo per forza fare 3 anni di matematica. Me lo faccio spiegare senza formule. E' quanto mai ovvio che la conoscenza che ne avrò non sarà paragonabile a quella di un fisico che a certi risultati ci è arrivato passo passo... Alla fine in classe mia siamo rimasti tutti soddisfatti del programma svolto, cosa che non avviene quasi MAI IN NESSUNA MATERIA!!! Erano argomenti che piacevano davvero. Prima edlla lezione di fisica eravamo tutti curiosi di sentire il professore andare avanti... Siamo andati come classe ( volontariamente) ad alcuni congressi di meccanica quantistica tenuti da un professore dell'università di Firenze e direi che non ci siamo persi una virgola. Aspettando che Ishram vada avanti mi piacerebbe mettere a confronto tutto quello che ho imparato con anche altre fonti!
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Re: La teoria quantistica

Messaggio da <enigma> » 28 set 2011, 19:43

Uhm... non sono d'accordo. Quando trovo un argomento che m'interessa mi faccio il culo per imparare la teoria necessaria, non leggo un libretto di Du Sautoy. Quella è una volgarizzazione del sapere, snaturato a tal punto da renderlo fruibile a chiunque, ed è come se tu volendo applicarti per correre una maratona usassi la moto. Va bene, i 42 km li fai, ma quella non è la corsa, per niente. E delle lezioncine (delle balle, oserei aggiungere) non bastano per capire DAVVERO come funzionano le cose, le cose ti vengono sbattute sommariamente in faccia facendoti credere di capirne qualcosa. Spiegare la meccanica quantistica senza formule è come nuotare senza piscina. Il compito degli insegnanti non è far appassionare la gente alla loro materia perché ti trovi già davanti gente a cui interessa... o questi perlomeno dall'università; un discorso simile vale anche al liceo, nel senso che un prof di matematica o fisica del PNI non deve divulgare proprio nulla ma deve far imparare le cose sul serio, e questo non vuol dire fare la propria materia in modo poco interessante perché il mio insegnante di matematica ha trovato il tempo di infilare nel programma delle basi di teoria dei gruppi, una buona trattazione dei numeri complessi e molte altre cose che di solito non si fanno, ma lì dipende da quanto sono illuminati i proprio insegnanti. Non si tratta di una conoscenza elitaria perché semplicemente quella NON E' conoscenza, con 600 pagine di un libro divulgativo sull'ipotesi di Riemann ne so quanto prima, con una pagina di un testo di analisi complessa qualcosa lo imparo. Semplicemente è dover faticare per imparare per davvero, che è quantomeno sacrosanto: sappiamo bene tutti che la via maestra al sapere non esiste, e non è qualche ora di lezione che può sostituire un ciclo di lezioni universitarie o un buon libro di testo.
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