Quando i razionali non bastano

[Haile]

EDIT: Azz... volevo metterlo in "cultura matematica". Se qualche mod può spostare.

Spostato. ---HP

Nella parte di matematica della tesina per la maturità pensavo di mettere l'insieme dei numeri reali. Non ho avuto molto tempo per documentarmi decentemente comprando libri, anche perché la tesina è quasi completamente su materie umanistiche.

Per collegarmi un po' al resto e fare un percorso minimamente decente, mi servirebbe (se esiste) la risposta a questa domanda:

È vero che i razionali non sono sufficienti a descrivere la realtà che ci circonda? Per quale motivo si rivelano inadeguati?

(La tesina è sul reale) Cercando qualcosa relativo ai numeri reali su libri e dispense universitarie, si trova in genere un approccio assiomatico basato su partizioni ed esistenza di elementi separatori, ma a me non serve nulla del genere... I commissari esterni ed il presidente hanno tutti e quattro lauree umanistiche

Se qualcuno potesse linkare un articolo, o spiegare molto brevemente se esistono (e quali sono) ragioni molto "naturalistiche" (anche fisiche) per la necessità dell'insieme dei reali... sarebbe ottimo!

Consigli?

[Gatto]

È vero che i razionali non sono sufficienti a descrivere la realtà che ci circonda? Per quale motivo si rivelano inadeguati?

Uhm, a mio parere sono più che adeguati... i numeri reali sono indispensabili in matematica, ma quando si parla di descrivere la realtà che ci circonda ogni quantità (informatica, economica, fisica) è soggetta a errore il che rende la differenza tra reali e razionali poco utile nel descrivere la realtà...

[Tibor Gallai]

Allora, secondo me ci sono 2 discorsi che puoi fare, restando nel programma di matematica del liceo.

Intanto, quando parli di "descrivere la realtà" intendi forse modellizzarla con delle strutture matematicheggianti. Dunque è vero che, se da una parte hai delle misurazioni fisiche che per definizione sono dei razionali (guardo su una scala graduata quante volte l'unità di misura ci sta dentro), dall'altra parte hai la necessità di costruire modelli matematici semplici. Quindi vorrai per esempio che alcuni degli oggetti che modelli siano quadrati, vorrai che altri siano sferici, etc. Ora il lato di un quadrato e la sua diagonale sono incommensurabili, ergo non possono essere entrambi razionali, e lo stesso vale per il raggio e la superficie di una sfera. Vorrai poi poter fare delle operazioni molto naturali sui tuoi dati sperimentali, che vengono fuori da formule sempre rilevate col metodo sperimentale (esempio, la legge di gravitazione universale). Queste formule coinvolgono anche radici quadrate, logaritmi, etc. Tutte operazioni che ti fanno uscire dai numeri razionali... Dunque limitarsi all'uso dei razionali per descrivere la realtà è in questo senso limitativo e di fatto è una complicazione inutile.

Un altro discorso riguarda la continuità di funzioni e i vari teoremi di esistenza degli zeri, esistenza di massimi/minimi, etc. Intuitivamente, se un punto "fisico" si sposta da una parte all'altra di un piano, esisterà un istante in cui giace esattamente sul piano. Oppure, quando lanci una palla in aria, esisterà un istante in cui si trova nel punto più alto della sua parabola. Se tu modelli la realtà con i razionali (e quindi tutte le coordinate spaziali e tutti i tempi sono razionali), non valgono questi teoremi. Nella tua tesina puoi anche fare degli esempi espliciti di come possono accadere queste cose, in modo da argomentare la necessità di "tappare i buchi" dei razionali, introducendo i reali.

[Nonno Bassotto]

Molto in breve, capire se i reali sono un modello migliore dei razionali per la fisica è un discorso molto delicato. Ma i reali sono molto più semplici dal punto di vista matematico sotto diversi punti di vista (e più complicati da altri punti di vista). Perciò il motivo per cui si usano i reali piuttosto che i razionali è matematico anziché fisico.

[SkZ]

nel mondo calcolato esistono solo i razionali, perche' per il calcolo pratico hai solo i naturali a disposizione, questo perche' i calcoli numerici che si fanno hanno una precisione limitata.

[Haile]

Ok ! Ringrazio tutti (ed in particolare T.G.) per gli spunti proposti, si sono rivelati sufficienti per quella piccola trattazione di matematica che avevo intenzione di inserire in tesina.