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da Tibor Gallai » 14 giu 2010, 16:10
Allora, secondo me ci sono 2 discorsi che puoi fare, restando nel programma di matematica del liceo.
Intanto, quando parli di "descrivere la realtà" intendi forse modellizzarla con delle strutture matematicheggianti. Dunque è vero che, se da una parte hai delle misurazioni fisiche che per definizione sono dei razionali (guardo su una scala graduata quante volte l'unità di misura ci sta dentro), dall'altra parte hai la necessità di costruire modelli matematici semplici. Quindi vorrai per esempio che alcuni degli oggetti che modelli siano quadrati, vorrai che altri siano sferici, etc. Ora il lato di un quadrato e la sua diagonale sono incommensurabili, ergo non possono essere entrambi razionali, e lo stesso vale per il raggio e la superficie di una sfera. Vorrai poi poter fare delle operazioni molto naturali sui tuoi dati sperimentali, che vengono fuori da formule sempre rilevate col metodo sperimentale (esempio, la legge di gravitazione universale). Queste formule coinvolgono anche radici quadrate, logaritmi, etc. Tutte operazioni che ti fanno uscire dai numeri razionali... Dunque limitarsi all'uso dei razionali per descrivere la realtà è in questo senso limitativo e di fatto è una complicazione inutile.
Un altro discorso riguarda la continuità di funzioni e i vari teoremi di esistenza degli zeri, esistenza di massimi/minimi, etc. Intuitivamente, se un punto "fisico" si sposta da una parte all'altra di un piano, esisterà un istante in cui giace esattamente sul piano. Oppure, quando lanci una palla in aria, esisterà un istante in cui si trova nel punto più alto della sua parabola. Se tu modelli la realtà con i razionali (e quindi tutte le coordinate spaziali e tutti i tempi sono razionali), non valgono questi teoremi. Nella tua tesina puoi anche fare degli esempi espliciti di come possono accadere queste cose, in modo da argomentare la necessità di "tappare i buchi" dei razionali, introducendo i reali.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]