infiniti

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Hector
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infiniti

Messaggio da Hector » 21 mag 2010, 16:58

qualcuno mi potrebbe dimostrare che l'infinito del numerabile è il minore possibile, come mai l'infinito reale sia quello subito maggiore al numerabile e come mai esistono infiniti infiniti di grandezza diversa?
p.s. altrimenti, più semplice, mi potete consigliare un libro che tratti questi problemi? (per ora ho trovato solo le dimostrazioni : reale > numerabile, numerabile= razionale)
grazie mille
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pic88
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Re: infiniti

Messaggio da pic88 » 21 mag 2010, 17:17

Hector ha scritto:come mai l'infinito reale sia quello subito maggiore al numerabile
Non e' vero! Anzi.. beh insomma, quella roba si chiama Ipotesi del continuo e si puo' trovare la sua storia qui.

Esistono infiniti infiniti perche' l'insieme delle parti di X ha sempre piu' elementi di X, e la dimostrazione e' abbastanza nota (prova a metterli in biiezione e considera l'insieme degli elementi che non sono contenuti nella propria immagine).

Che l'infinito numerabile sia il minore possibile e' facile da dimostrare, ma per farlo forse dovresti prima chiarire come definisci un insieme infinito.

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Nonno Bassotto
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Re: infiniti

Messaggio da Nonno Bassotto » 21 mag 2010, 17:31

Hector ha scritto:qualcuno mi potrebbe dimostrare che l'infinito del numerabile è il minore possibile
Inizia a contare gli elementi del tuo insieme. Ogni volta che conti un elemento, lo scarti. Se a un certo punto rimani senza elementi, il tuo insieme era finito. Altrimenti hai dimostrato che contiene un insieme infinito numerabile. Quindi l'infinito numerabile è il più piccolo possibile.
Hector ha scritto: come mai l'infinito reale sia quello subito maggiore al numerabile
Come ha già detto Pic, questo non è dimostrabile a partire dagli assiomi standard della teoria degli insiemi. In altre parole, sia che tu ci creda o no, otterrai delle teorie coerenti.
Hector ha scritto: e come mai esistono infiniti infiniti di grandezza diversa?
p.s. altrimenti, più semplice, mi potete consigliare un libro che tratti questi problemi? (per ora ho trovato solo le dimostrazioni : reale > numerabile, numerabile= razionale)
Beh, hai appena detto che sai che reale>numerabile, quindi ecco due infiniti di grandezza diversa. Qual è il tuo dubbio?
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Hector
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Re: infiniti

Messaggio da Hector » 21 mag 2010, 17:43

Nonno Bassotto ha scritto:
Hector ha scritto: e come mai esistono infiniti infiniti di grandezza diversa?
p.s. altrimenti, più semplice, mi potete consigliare un libro che tratti questi problemi? (per ora ho trovato solo le dimostrazioni : reale > numerabile, numerabile= razionale)
Beh, hai appena detto che sai che reale>numerabile, quindi ecco due infiniti di grandezza diversa. Qual è il tuo dubbio?
innanzitutto grazie per le risposte immediate
comunque intendevo: come si fa a dimostrare che esistano non due ma infiniti infiniti di grandezza diversa. che non esistano solo alef 1 e alef 2, ma anche alef tre, alef quattro e così via. scusa per l'equivoco che si crea tra "infinit" sostantivo e "infiniti" complemento di quantità :)
p.s. all'inizio volevo mettere la tua firma su questo forum, ma purtroppo non volendo me l'hai soffiata e ho dovuto ripiegare su questa: mi vendicherò :twisted: :lol:
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Re: infiniti

Messaggio da pic88 » 21 mag 2010, 18:27

Hector ha scritto: comunque intendevo: come si fa a dimostrare che esistano non due ma infiniti infiniti di grandezza diversa. che non esistano solo alef 1 e alef 2, ma anche alef tre, alef quattro e così via. scusa per l'equivoco che si crea tra "infinit" sostantivo e "infiniti" complemento di quantità :)
E non ti basta il mio hint?

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Messaggio da Nonno Bassotto » 21 mag 2010, 18:52

Scusa, mi ero perso "infiniti infiniti" che il mio cervello aveva automaticamente contratto. Comunque sì, l'hint è quello di Pic: l'insieme delle parti di X ha cardinalità maggiore di X.
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Re: infiniti

Messaggio da Hector » 21 mag 2010, 18:56

pic88 ha scritto:
Hector ha scritto: comunque intendevo: come si fa a dimostrare che esistano non due ma infiniti infiniti di grandezza diversa. che non esistano solo alef 1 e alef 2, ma anche alef tre, alef quattro e così via. scusa per l'equivoco che si crea tra "infinit" sostantivo e "infiniti" complemento di quantità :)
E non ti basta il mio hint?
in realtà ho letto il tuo commento dopo aver scritto il messaggio (infatti avevo modificato grazie per la rispostA con rispostE :) ), dopo ci ho pensato un po' e poi mi sono dimenticato del problema , senza averlo risolto. :roll: ( in realtà non mi ricordo mai bene i termini di teoria degli insiemi quindi faccio una confusione pazzesca, quindi una frase l'insieme degli elementi che non sono contenuti nella propria immagine mi ha fatto allontanare dal problema :lol:
adesso che ho la pulce nell'orecchio, potresti dirmi cosa vuol dire esattamente?
grazie
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Messaggio da pic88 » 21 mag 2010, 19:10

Prendi una funzione iniettiva f da A in P(A). Sia D={x in A t.c. x non appartiene ad f(x)}. Allora non esiste y t.c. f(y)=D (prove it!), quindi ogni f iniettiva da A in P(A) non puo' essere suriettiva, dunque non c'e' biiezione tra quei due oggetti.

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Messaggio da SkZ » 21 mag 2010, 20:48

attenzione a non confondere numeri ordinali e numeri cardinali poi.
ovvero tra infinito come massimo di $ ~\tilde{\mathbb{R}} $ e infinito come cardinalita' di $ ~\mathbb{R} $
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Messaggio da Ani-sama » 21 mag 2010, 21:08

SkZ ha scritto:attenzione a non confondere numeri ordinali e numeri cardinali poi.
ovvero tra infinito come massimo di $ ~\tilde{\mathbb{R}} $ e infinito come cardinalita' di $ ~\mathbb{R} $
Che intendi con numeri ordinali? Questi? A leggere l'articolo non sembrerebbe corretto, però...

Comunque, l'oggetto $ +\infty $ che appartiene alla cosidetta retta estesa (quella che, penso, indichi con $ \tilde{\mathbb R} $) è semplicemente una cosa che, per definizione, non è un numero reale ed è maggiore di tutti i numeri reali. Ma il fatto che sia denotato $ +\infty $ ha una ragione puramente euristica-intuitiva, non ha niente a che vedere con numeri ordinali o cardinalità. Potrebbe essere anche una pera o una mela, ecco.
...

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Messaggio da SkZ » 22 mag 2010, 03:03

ok, faccio sempre confusione coi nomi e it.wiki non aiuta a dipanare il mio casino.

Quello che volevo dire era che non si faccia confusione tra infinito inteso come concetto di massimo numero (che come dicevi i naturali, i reali non hanno massimo o minimo e la retta estesa e' appunto un "artificio" matematico) e infinito legato ai cardinali e ordinali.
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Messaggio da Hector » 26 mag 2010, 19:22

pic88 ha scritto:Prendi una funzione iniettiva f da A in P(A). Sia D={x in A t.c. x non appartiene ad f(x)}. Allora non esiste y t.c. f(y)=D (prove it!), quindi ogni f iniettiva da A in P(A) non puo' essere suriettiva, dunque non c'e' biiezione tra quei due oggetti.
visto che in generale sono uno di indole pigra e nelle ultime tre settimane ho avuto 15 compiti in classe non ho avuto nè tempo nè testa per capire, quindi qualcuno avrebbe voglia di esplicitarmi la dimostrazione completa? :oops: :roll:
grazie mille
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Messaggio da SkZ » 26 mag 2010, 19:36

D e' l'insieme degli x che non appartengono alla propria immagine, ergo e' un sotto insieme di A quindi appartiene all'insieme delle parti (notare che anche A e l'insieme vuoto appartengono all'insieme delle parti, quindi e' ben definito)
ammettiamo che D sia l'immagine di un certo y. y puo' appartenere o meno a D
Se y appartiene a D allora appartiene alla sua immagine, argo non appartiene a D
Se y non appartiene a D, allora non appartiene alla sua immagine ergo appartiene ad D
Ho una contraddizione, quindi D non e' immagine di alcun elemento di A attraverso la funzione iniettiva f
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