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Commenti e suggerimenti sull'iniziativa del "Giornalino della Matematica"

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BlaisorBlade
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Messaggio da BlaisorBlade » 01 gen 1970, 01:33

(Qui uso == per la congruenza)
<BR>L\'ipotesi equivale a dire che xy+1 sia divisibile per 3 e per 8, cioè che xy+1==0 mod 3 e xy+1==0 mod 8;
<BR>la tesi, analogamente, è che x+y==0 mod 3 e che x+y==0 mod 8.
<BR>Dimostriamo che x+y=0 mod 3
<BR>Si ha:
<BR>xy+1==0 mod 3
<BR>xy==2 mod 3
<BR>evidentemente, 3 non divide né x né y; sia x=3a+b e y=3c+d, con 0<=b<3 e 0<=d<3; xy=9ac+3(bc+ad)+bd==bd mod 3; poiché xy==2 mod 3, bd==2 mod 3; verificando i quattro possibili casi per i valori di b e d, si vede che b=1 e d=2 o viceversa(in altro modo, se b=d, bd=b²==1 mod 3), e che b+d=3. Quindi x+y=3(a+c)+b+d=3(a+c+1)==0 mod 3.
<BR>(Si poteva fare una cosa simile, supponendo direttamente che 0<=x<3 e 0<=y<3, perché altrimenti si prenderebbero i resti di x e y divisi per 3, e si avrebbe x\'y\'==xy e x\'+y\'==x+y mod 3; si tratta solo di una parafrasi di quanto già detto).
<BR>Dimostriamo che x+y=0 mod 8
<BR>Si ha:
<BR>xy+1==0 mod 8
<BR>xy==7 mod 8
<BR>evidentemente, 8 non divide né x né y; sia x=8a+b e y=8c+d, con 0<=b<8 e 0<=d<8, xy=64ac+8(bc+ad)+bd==bd mod 8; poiché xy==7 mod 8, bd==7 mod 8; verificando i 49 possibili casi per i valori di b e d, si vede che b=1 e d=7 o viceversa, o b=3 e d=5 e viceversa; per sveltire questa verifica, poiché bd<=49 e bd==7 mod 8, allora bd deve essere uno dei numeri tra 7 e 49 che sono congrui a 7 mod 8, cioè 7,15,23,31,39,47; tentando di scomporli in fattori, 7=1*7, 15=3*5, ma per tutti gli altri non si trovano due fattori b e d compresi in {0,...,7}, quindi otteniamo il risultato già detto; in entrambi i casi b+d=8. Quindi x+y=8(a+c)+b+d=8(a+c+1)==0 mod 8.
<BR>Come vi sembra?

Davide_Grossi
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Messaggio da Davide_Grossi » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, non ho neanche letto la tua dimostrazione che magari è giustissima.
<BR>Le soluzioni, o \"presunte tali\" come indico sempre io quando le invio, vanno mandate alla redazione del giornalino, <!-- BBCode Start --><A HREF="mailto:soluzioni@olimpiadi.ing.unipi.it">soluzioni@olimpiadi.ing.unipi.it</A><!-- BBCode End --> e non postate qui nel forum. Si discute di quelle dei giornalini passati, come già detto.
<BR>Il mio tono potrebbe sembrare molto seccato, ma non lo è <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif"> , sono semplicemente un po\' brutale di carattere!
<BR>Bye!!
Davide Grossi

BlaisorBlade
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Messaggio da BlaisorBlade » 01 gen 1970, 01:33

Scusa, l\'avevo già inviata all\'indirizzo, solo che m\'ero perso la clausola\"si discute dei giornalini passati\". Xdono, per piacere.

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