G4 problema 24 !!!generalizzato!!!

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sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Sia dato il triangolo ABC e sia H un punto qualsiasi nel piano ABC distinto da A, B e C. Siano A’, B’ e C’ le intersezioni delle rette HA, HB ed HC con il cerchio c circoscritto ad ABC. Sia r una retta per H che interseca (eventualmente all’infinito) in Ha, Hb ed Hc rispettivamente le rette BC, CA ed AB. Provare che A’Ha, B’Hb e C’Hc concorrono in uno stesso punto.
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<BR>La tesi deriva direttamente dall’inverso del teorema di Pascal sugli esagoni inscritti nelle coniche.
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<BR>A solo scopo di illustrare la cosa, consideriamo un triangolo ABC con il suo cerchio circoscritto c ed H (nella mia descrizione) interno al triangolo. Siano A’ e C’ le proiezioni per H di A e C su c. Supponiamo che r taglia il segmento AB in Hc e la retta BC in Ha esternamente al segmento dalla parte di C. Essendo Hc, H ed Ha allineati, per l’inverso del teorema di Pascal, l’intersezione di C’Hc con A’Ha e’ un punto della conica determinata da ABCA’C’ cioe’ e’ un punto di c.
<BR>Su questo fatto si basa la costruzione di Maclaurin (visitare il sito di wilson) una conica per punti.
<BR>Analogamente si argomenta partendo, ad esempio, da ABCA’B’. Questo chiude la prova.
<BR>
<BR>
<BR>Sulla base del lemma che prova il fatto che i punti simmetrici dell’ortocentro rispetto ai lati stanno sul cerchio circoscritto al triangolo, si ha che il problema 24 e’ un caso particolare del risultato generale di sopra.
<BR>
<BR>

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<BR>Un altro indirizzo (oltre a quello di wilson cabri) dove si trova roba interessante sulla geometria e\' il seguente:
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<BR>www.geom.umn.edu/apps/conics/conic1.html
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<BR>ciao
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