G4 Problema 18

[sprmnt21]

Trovare tutte le coppie di numeri primi p e q tali che p^2+3pq+q^2 sia:
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<BR>a) un quadrato perfetto
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<BR>b) una potenza di 5
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<BR>a) Da p^2+3pq+q^2=k^2 segue che pq=k^2-(p+q)^2=(k-(p+q))(k+p+q). Dato che k+p+q > p e k+p+q > q si ha che k-(p+q)=1 e k+p+q=pq. Combinando queste due relazioni si ha che (p-2)(q-2)=5 l\'unica soluzione di questa equazione e\' p=3 e q=7 (e simmetrica).
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<BR>b) Da p^2+3pq+q^2=5^k (si ha che k > 1 infatti il primo membro e\' maggiore di 5 ( > =20)) segue che (p-q)^2=5^k-5pq=5(5^(k-1)-pq). Da questa si ha che sia p-q che pq sono multipli di 5. Cioe\' p-q=r5 e pq=s5. Dalla seconda di queste segue che uno tra p e q e\' 5 ma questo, per la prima, implica che anche l\'altro e\' multiplo di 5 cioe\' e\' uguale a 5.
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