PROBLEMA OLIMPICO

Commenti e suggerimenti sull'iniziativa del "Giornalino della Matematica"

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karotto
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Messaggioda karotto » 01 gen 1970, 01:33

SAPETE RISOLVERE QUESTO? E\' assegnata una legge # tale che ad ogni coppia di interi x,y associa un intero x # y tale che: <BR> <BR>x#(y+z)=y#x + z#x <BR> <BR>Per tutti gli interi x,y,z <BR>dimostrare che <BR>x#y=xy(1#1)

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talpuz
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Messaggioda talpuz » 01 gen 1970, 01:33

è un\'esercizio della normale, vero? <BR> <BR>se vuoi, se nessuno trova la soluzione fra un po\', posso postarla...
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Franchifis
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Messaggioda Franchifis » 01 gen 1970, 01:33

Non sono sicuro che vada bene, ma io procederei così: <BR> <BR>x#(y+z)=x(y+z)(1#1) <BR>y#x+z#x=(xy+xz)(1#1) <BR>yx(1#1)+zx(1#1)=(xy+xz)(1#1) <BR>yx+zx=xy+xz <BR>0=0 <BR> <BR>Ovvero, supposta vera la tesi si può dedurre logicamente un\'affermazione (0=0) che è sicuramente vera. Se da premesse false non si possono dedurre logicamente affermazioni vere allora la dimostrazione va bene. Però non sono sicuro di questo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

cekko
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Messaggioda cekko » 01 gen 1970, 01:33

non capisco come passi dal 3° al 4° rigo
"...e d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione e a quello che il buon Bog manda loro".
Alex, Arancia Meccanica.

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FrancescoVeneziano
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Messaggioda FrancescoVeneziano » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2004-07-25 17:27, Franchifis wrote: <BR> <BR>Ovvero, supposta vera la tesi si può dedurre logicamente un\'affermazione (0=0) che è sicuramente vera. Se da premesse false non si possono dedurre logicamente affermazioni vere allora la dimostrazione va bene. Però non sono sicuro di questo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR> <BR>Infatti è sbagliato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <BR>Da premesse false si può dedurre qualsiasi cosa, quello che puoi concludere dal tuo ragionamento è solo che la tesi non è contraddittoria, non certo che è vera. <BR> <BR>CaO <BR>Francesco <BR> <BR>
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

colony
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Messaggioda colony » 01 gen 1970, 01:33

non capisco come passi dal 3° al 4° rigo
<BR> <BR>dividendo tutto per 1#1...

colony
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Messaggioda colony » 01 gen 1970, 01:33

perchè non riesco a citare come si deve????? <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> qualcuno saprebbe dirmi esattamente come si fa? mi rendo conto di essere completamente incapace... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

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Boll
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Messaggioda Boll » 01 gen 1970, 01:33

“scomponiamo” <BR>x#y <BR>x#[(y-1)+1] <BR>x#1+x#(y-1) <BR>x#1+x#[(y-2)+1] <BR>x#1+x#1+x#(y-2) <BR>ripetendo il procedimento y-2 volte avremo <BR>x#2+x#1+x#1+...+x#1(y-2 volte) cioè <BR>x#1+x#1+...+x#1(y volte) <BR> <BR>ora “scomponiamo” <BR>x#1 <BR>[(x-1)+1]#1 <BR>(x-1)#1+1#1 <BR>[(x-2)+1]#1+1#1 <BR>(x-2)#1+1#1+1#1 <BR>ripetendo il procedimento x-2 volte avremo <BR>1#2+1#1+1#1+...+1#1(x-2 volte) cioè <BR>1#1+1#1+...+1#1(x volte) <BR> <BR>quindi x#y si può scomporre come <BR>1#1+1#1+...+1#1 (xy volte) cioè <BR>xy(1#1) c.v.d. <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>Chiedo umilmente a qualcuno, tipo Mind <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">, di guardare questa mia \"presunta\" soluzione</B><!-- BBCode End --> <BR><!-- BBCode Start --><B>@talpuz: Di che anno era questo problema SNS? Posteresti per favore la tua soluzione?</B><!-- BBCode End -->
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

cekko
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Messaggioda cekko » 01 gen 1970, 01:33

x colony <BR>e chi ti dice che 1#1 sia diverso da 0?
"...e d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione e a quello che il buon Bog manda loro".

Alex, Arancia Meccanica.

colony
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Messaggioda colony » 01 gen 1970, 01:33

se 1#1=0 allora yx(1#1)+zx(1#1)=(xy+xz)(1#1) (passaggio precedente...) diventa 0=0...

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Franchifis
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Messaggioda Franchifis » 01 gen 1970, 01:33

La soluzione \"ufficiale\" della SNS è questa: <BR> <BR>Osserviamo intanto che <BR>x#x = x#(x+0) = x#x+0#x <BR> <BR>e quindi <BR>0#x = 0 <BR> <BR>Di conseguenza <BR>x#y = x#(y+0) = y#x+0#x = y#x <BR> <BR>dunque l\'operazione # è commutativa, e in particolare si ha che <BR>x#(y+z) = y#x+z#x = x#y+x#z <BR> <BR>(vale la proprietà distributiva rispetto alla somma) <BR>Dimostriamo usando il <!-- BBCode Start --><I>principio di induzione</I><!-- BBCode End --> che se y>=1 si ha: <BR>x#y = y(x#1). Per y=1 la tesi è immediata; dalla proprietà distributiva segue che se <BR>x#y = y(x#1) <BR> <BR>vale per un certo y, allora <BR>x#(y+1) = x#y+x#1 = y(x#1)+(x#1) = (y+1)(x#1) <BR> <BR>Se y=0 si ha che x#y = 0= 0(1#1) <BR>Se y<0, osserviamo che <BR>x#y+x#(-y) = x#(y-y) = x#0 = 0 <BR> <BR>e dunque <BR>x#y = -(x#(-y)) = -((-y)(x#1)) = y(x#1) <BR> <BR>Possiamo quindi concludere: <BR>x#y = y(x#1) = y(1#x) = y(x(1#1)) = xy(1#1) <BR> <BR> <BR>Mi sembrava un po\' complicata e così avevo provato a farne una più semplice con clamoroso fallimento.

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talpuz
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Messaggioda talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2004-07-25 20:45, Boll wrote: <BR>“scomponiamo” <BR>x#y <BR>x#[(y-1)+1] <BR>x#1+x#(y-1) <BR>x#1+x#[(y-2)+1] <BR>x#1+x#1+x#(y-2) <BR>ripetendo il procedimento y-2 volte avremo <BR>x#2+x#1+x#1+...+x#1(y-2 volte) cioè <BR>x#1+x#1+...+x#1(y volte) <BR> <BR>ora “scomponiamo” <BR>x#1 <BR>[(x-1)+1]#1 <BR>(x-1)#1+1#1 <BR>[(x-2)+1]#1+1#1 <BR>(x-2)#1+1#1+1#1 <BR>ripetendo il procedimento x-2 volte avremo <BR>1#2+1#1+1#1+...+1#1(x-2 volte) cioè <BR>1#1+1#1+...+1#1(x volte) <BR> <BR>quindi x#y si può scomporre come <BR>1#1+1#1+...+1#1 (xy volte) cioè <BR>xy(1#1) c.v.d. <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>Chiedo umilmente a qualcuno, tipo Mind <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">, di guardare questa mia \"presunta\" soluzione</B><!-- BBCode End --> <BR><!-- BBCode Start --><B>@talpuz: Di che anno era questo problema SNS? Posteresti per favore la tua soluzione?</B><!-- BBCode End --> <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR> <BR>beh, la \"mia\" soluzione era quella ufficiale (già postata), l\'anno controllerò <BR> <BR>per la tua soluzione, l\'idea sembra buona, soltanto che devi stare attento a quando scrivi <BR> <BR>x#y <BR>x#[(y-1)+1] <BR>x#1+x#(y-1) <BR> <BR>perchè l\'identità che ti dà il testo è <BR> <BR>x#(y+z)=y#x + z#x <BR> <BR>e non <BR> <BR>x#(y+z)=x#y + x#z <BR> <BR>che, se l\'operazione non fosse commutativa sarebbero cose ben diverse... <BR> <BR>Comunque ti faccio notare che il tuo procedimento è concettualmente equivalente al procedimento per induzione, che è un pelino + rigoroso (con l\'induzione eviti di usare ellissi tipo \"continuando in questo modo...\"), quindi tanto vale... <BR> <BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 26-07-2004 20:29 ]
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Messaggioda Franchifis » 01 gen 1970, 01:33

Il fatto è che la soluzione che ho postato l\'ho copiata pari pari dal libro. In effetti la tua mi piaceva di più! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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Boll
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Messaggioda Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>Grazie talpuz, credo ora di aver formalizzato il tutto e aver risolto il problema snza l\'uso dell\'induzione e di ellissi del tipo \"e così via\", ma magari mi sbaglio </B><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR> <BR>Ho segnato fra parentesi quadre il numero delle volte in cui si ripete lo stesso addendo (spero si dica così...). La dimostrazione è fatta usando interi positivi, ma vale anche per i negativi, basta raccogliere -1 a fattor comune. <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>Step 1</B><!-- BBCode End --> Si dimostra che la legge è commutativa (Non ricopio la dimostrazione scrita 2 righe sopra) <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>Step 2</B><!-- BBCode End --> Si dimostra che, se vale tale legge, per ogni intero x e per ogni n-upla di interi y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>,y<sub>3</sub>,...,y<sub>n</sub> vale la seguente: <BR>x#(y<sub>1</sub>+y<sub>2</sub>+y<sub>3</sub>+...+y<sub>n</sub>)= x#y<sub>1</sub>+x#y<sub>2</sub>+x#y<sub>3</sub>+...+x#y<sub>n</sub> <BR> <BR>Dimostrazione: Ogni somma di n interi si può scrivere come somma di n-1 interi più un intero <BR>x#[(y<sub>1</sub>+y<sub>2</sub>+y<sub>3</sub>+...+y<sub>n-1</sub>)+(y<sub>n</sub>)]= x#(y<sub>1</sub>+y<sub>2</sub>+y<sub>3</sub>+...+y<sub>n-1</sub>)+x#y<sub>n</sub> <BR>Quindi si possono \"portar fuori\" tutti gli elementi della n-upla uno ad uno sfruttando la legge data e il fatto che si è dimostrato che è commutativa <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>Step 3</B><!-- BBCode End --> Si dimostra che x#y= x#1+x#1+...+x#1[y volte] <BR> <BR>Dmostrazione: y può essere visto come somma di 1, y volte, quindi si può riscrivere: <BR>x#(1+1+...+1)[y volte]=x#1+x#1+...+x#1[y volte] per ciò che si è dimostrato nello Step 2 e 1 <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>Step 4</B><!-- BBCode End --> Si dimostra che x#1=1#1+1#1+...+1#1[x volte] <BR> <BR>Dimostrazione: x si può vedere come somma di 1, x volte, quindi: <BR>1#x=1#(1+1+...+1)[x volte]=1#1+1#1+...+1#1[x volte] per ciò che si è dimostrato negli step 2 e 1 <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>Step 5</B><!-- BBCode End --> Conclusione <BR>Nello step 4 si è dimostrato che x#y può essere visto come somma di x#1, y volte, nel 5 si è dimostrato che x#1 è la somma di x 1#1, quindi x#y è la somma di x*y 1#1, cioè <BR>x#y=xy(1#1) c.v.d. <BR> <BR><!-- BBCode Start --><I>Sono stato schifosamente prolisso, spero che almeno si sia capito e sia corretto</I><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 30-07-2004 12:17 ]
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