Filosofia della matematica

Qui si parla del + e del -. Se per colpa della matematica ti hanno bandito dalla birreria, qui puoi sfogarti.
Faust
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Filosofia della matematica

Messaggio da Faust » 29 set 2005, 20:31

La Matematica è meravigliosa :D ... e diabolica :twisted: ... e stupefacente :shock: ! Il problema è che si sta aprendo un dibattito filosofico (sempre più perverso e quindi anche interessante) riguardo la realtà ultima della matematica. Cosa è essa in fin dei conti? Si tratta di un puro costrutto della mente umana? Oppure è reconditamente nascosta nella natura dell'universo?

In sintesi la matematica è reale?

Probabilmente alcuni diranno che è osceno infangare una delle più incredibili produzioni della mente umana con domande filosofiche, e quindi fini a se stesse. Tuttavia mi sembrava interessante aprire un thread al riguardo, dove raccogliere le opinioni di tutti, perchè c'è davvero da perdere la testa tra platonisti, formalisti, logicisti, costruttivisti, logici del linguaggio e chi più ne ha piu ne metta.

Chi ha voglia di bacarsi la testa risponda! :twisted:
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post233
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Messaggio da post233 » 29 set 2005, 21:40

Mi permetto di esprimere la mia opinione da filo-sofista (come si può facilmente intuire dalla citazione di Gorgia sotto la mia firma): ritengo infatti che ogni cosa, eccezion debitamente fatta per gli assoluti o i dogmi dei medesimi - il che significa lasciare una buona volta la religione in disparte 8) - sia frutto di un pensiero umano e pertanto nasca da una pura convenzione. In effetti, in ambito di ricerca matematico-cosmologica, ogni definizione, teorema, teoria e definizione nasce da concetti primitivi ed affermazioni di carattere prettamente assiomatico, che tendono a creare circoli chiusi - e, badate bene, non ho detto viziosi - di teorie. Questa, del resto, è la definizione stessa di metodo ipotetico-deduttivo, ma può essere sempre applicata, seppur con qualche minima riserva, anche a quello empirico, in cui, pur cercando di attenermi il più possibile a risultati pratici, sono obbligato sempre e comunque a definire in partenza enti e, più in generale, concetti.
A questo punto, mi aspetto prinicipalmente che si obietti che la matematica, in quanto perfetta e coerente, non può essere mera espressione di uno svago del subconscio umano, che crea convenzioni e ci ricama sopra fior fiore di teoremi.
Usciamo allora da un'ottica che demonizza la concezione illuministica di dominio del nous sul logos: in effetti, la matematica è così perfetta e coerente con i propri assiomi non NONOSTANTE sia generata dal puro pensiero umano ed esista soltanto in funzione di esso, ma proprio IN VIRTù di tale fatto. Del resto, la mente umana non può non essere perfetta, perché:
a-)giusto per citare Aristotele, l'uomo può pensare parte di Dio ma anche parte della potenza in transizione, mentre la mente di Dio può pensare soltanto il puro atto, e dunque noi superiamo la divinità stessa in ecletticità del pensiero - qui qualcuno mi accuserà di eresia, lo sento :roll: -;
b-)la mente umana discende da quella divina
(ho fatto queste due considerazioni soltanto per fare arricciare ancora di più il naso a coloro che l'avevano già storto quando ho cacciato a pedate la religione dal ragionamento :twisted: )
Ora, occupiamoci di un'altra obiezione, quella di natura pratico-cosmologica:
come può la matematica, se è una semplice convenzione, spiegare in modo così profondo molti misteri fisici? E, soprattutto, chi assicura che non sia in grado di spiegare al meglio l'universo?
Per controbattere, sono costretto mio malgrado a scomodare il buon vecchio Kant: e, infatti, il problema che ci si può porre è banalmente questo: l'universo è esistente anch'esso in quanto pensabile dall'uomo :shock: o in quanto indipendente dalla sua mente :? ? Beh, a costo di scomodare la relatività, oserei dire che il pensiero dell'uomo può esplorare, nei suoi anfratti più reconditi, qualcosa che va al di là dell'universo stesso - in altre parole, l'uomo può concepire il trascendentale - ma l'universo cesserebbe di esistere senza l'uomo stesso che lo pensasse.
Pertanto, la matematica non può che spiegare quelle parti dell'universo che l'uomo già conosce, e questo è tautologico - se l'universo e la matematica sono frutto del pensiero umano e nascono entrambi come convenzioni, è evidente che devono implicarsi a vicenda - perché, se anche riuscisse fantascientificamente a spiegare l'esistenza del Tutto assoluto, ciò cesserebbe istantaneamente di essere un mistero e pertanto entrerebbe di fatto a far parte dell'Es umano.
Dunque, la matematica esiste a mio parere soltanto come proiezione sul conscio della parte più razionale dell'inconscio e, pertanto, è una convenzione umana.
Questo non è certo un deterrente: al contrario, sfido chiunque a negare - con il proprio raziocinio - il potere del raziocinio umano stesso: cadrebbe inevitabilmente in un paradosso analogo a quello stoico del mentitore.
P.S.: Un grazie a Faust per la splendida idea di aprire questo thread.
P.P.S.: Temo che in molti troveranno un po' troppo relativista la mia opinione, ma in fondo...il confronto è il dono più grande di cui la nostra mente ci consente di approfittare. :P
Ultima modifica di post233 il 30 set 2005, 17:33, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da EvaristeG » 29 set 2005, 23:40

Non voglio rispondervi, ma vi cito una parte di un manuale di Geometria Proiettiva scritto da Enriques (un ottimo geometra algebrico italiano della prima metà del 1900) :

"Dall'ordine delle cose esterne, nella rappresentazione data alla mente dai sensi, scaturisce il concetto di spazio. La Geometria studia questo concetto già formato nella mente del geometra, senza porsi il problema (psicologico ma non matematico) della sua genesi. Sono dunque oggetto di studio, nella Geometria, i rapporti intercedenti fra gli elementi (punti, linee, superficie, rette, piani, ecc.) che costituiscono il concetto complesso di spazio : a tali rapporti si dà il nome di proprietà spaziali o geometriche."

Inoltre, sempre dalla geometria (perchè è quella che dà più spunti a simili commenti) ecco quel che diceva Guido Castelnuovo, parlando di alcuni dei maggiori geometri algebrici italiani di fine '800, suoi maestri :

"Per Veronese, per Segre, per Bertini, per tutti i nostri Maestri insomma di geometria iperspaziale, punti, rette e piani di un $ \mathbb{R}^n $, sono vere entità geometriche. Lo spazio lineare a n dimensioni per loro è come se realmente esistesse."

Infine, lasciatemi ricordare alcuni fatti
1) per gli "analisti" prima di L.A.Cauchy una funzione era un grafico che si potesse disegnare su un foglio, quindi una funzione non continua in nessun punto o continua ovunque ma senza mai derivate era un abominio inaudito (come disse Poincarè "la logica genera mostri").
2) un libro di matematica (soprattutto di geometria) del secolo scorso non era la chiara e asettica esposizione di definizioni lemmi proposizioni e teoremi che oggi uno trova, ma era un'esplorazione di un territorio ignoto, fatta di un susseguirsi di indagini di esempi specifici, da cui poi, riscontrando somiglianze e analogie, si ricavavano, a volte, teoremi e risultati generali che venivano poi dimostrati, anche sfruttando le tecniche già applicate ai casi particolari
3) per i matematici, fino all'800, i numeri complessi non hanno avuto uno statuto ontologico (non erano veri) finchè Gauss non ha esibito una loro "immersione" o "identificazione" nel piano, tramite quello che appunto è noto come piano di Argand-Gauss; prima di allora i numeri complessi erano un ausilio al calcolo ma non venivano pensati come numeri che avessero diritto di esistere al pari dei reali
4) alcuni (non sto a dirvi chi, perchè è un lungo elenco) ritengono che l'abilità del matematico nel far matematica sia la stessa che una casalinga deve impiegare per seguire una telenovela : bisogna ricordare e mettere in relazione tutti i legami tra i personaggi, sapere cosa ognuno rappresenta nei confronti degli altri, le sue passate azioni che hanno giovato o nuociuto agli altri, ecc ecc ; in matematica più o meno è la stessa cosa, in quanto quello che devono fare il più delle volte i matematici è trovare o creare legami di "parentela" o "amicizia" o "bisogno" tra concetti ed enti matematici, ricordando il rapporto di ognuno con tutti gli altri.

Detto questo, continuate a pensarci : hanno ragione i platonisti, gli intuizionisti che fanno arrivare la matematica da cose più o meno reali o gli altri (mai che mi ricordi il nome) che propendono per fare della matematica un puro gioco intellettuale ?

buona discussione.

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post233
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Messaggio da post233 » 30 set 2005, 00:34

Personalmente, mi sento di propendere per la seconda ipotesi: la nostra mente è in grado di percepire, generalizzare, andare al di là della semplice e misera esperienza pratica, scavalcare le barriere dell'empirismo - senza, ripeto, togliere nulla all'empirismo stesso - e proiettare i propri concetti fino a toccare casistiche sempre più notevoli. I numeri complessi, il piano proiettivo, lo spazio lineare ad n dimensioni che ha citato EvaristeG sono senza ombra alcuna di dubbio il massimo esempio di come la psiche dell'uomo sia in grado di generare concetti come quello dei "mostri generati dalla logica", dove la parola mostro intende ciò che sfugge all'umana comprensione e va pertanto evitato o quanto meno guardato con sospetto: i numeri immaginari sono strumenti utilissimi, ma chi avrebbe mai potuto inventarli limitandosi a guardare la realtà, senza usare un minimo di passaggi logici innovativi, senza capire che fare matematica non significa soltanto dedicarsi ad una mera speculazione puramente oggettiva volta a spiegare i particolari dell'universo di cui abbiamo bisogno nella pratica? Chi avrebbe mai potuto ipotizzare uno spazio a n dimensioni, quando noi stessi esseri umani - che ne siamo gli ideatori - siamo in grado di percepirne soltanto 3? Un ragionamento come quello che ha portato all'elaborazione di simili strumenti e teorie è basato sulla convinzione che sia perfettamente logico e per nulla assurdo pensare che, se un principio vale per n, vale anche per n+1 (w l'induzione!!), da cui la nascita della generalizzazione, spesso molto più astratta e per noi apparentemente più inarrivabile del caso specifico.
Ne abbiamo la prova anche nella risoluzione di problemi dimostrativi: mi vengono in mente per esempio quelli di TdN che esordiscono con uno scoraggiante "Dimostra che esistono infiniti..." o affini: spesso, i problemi di infinito e infinitesimale, uscendo dal canone pitagorico di finito=perfetto, infinito=imperfetto, sembrano meno comprensibili di altri in apparenza più semplici. Questo perché, se pensiamo a come risolverli, notiamo che, nella quasi totalità dei casi, non riusciremo mai a TROVARE quei numeri, ma sapremo che esistono (applicando l'intramontabile teorema cinese del resto o simili). La stessa cosa avviene negli spazi n-dimensionali, nel piano proiettivo, in quello di Gauss: sappiamo che esistono cose che vanno al di là di una rappresentazione concreta ma purtroppo, assai spesso, non siamo in grado di immaginarle teoricamente. La grande importanza di ritenere la matematica una convenzione è dunque anche quella di estrapolarla dalla realtà prettamente concreta ed innestarla in una linea di pensiero aperta, razionale, in una parola, MODERNA.
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Iron_Man
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Messaggio da Iron_Man » 30 set 2005, 16:52

Io ho studiato solo il pensiero di qualche filosofo dell'antichità quindi non so citarvi celebri frasi di personaggi illustri, mi limito a esporre come vedo io il problema. Da ciò che ho capito la domanda principale è: la matematica esisterebbe anche se non esistesse la razza umana? (per semplificare lasciamo perdere la possibile esistenza nell'universo di altre entità simili alla nostra). Cioè la matematica aleggiava nell'aria ancora prima della nostra venuta e la razza umana (o chi per noi se non fossimo mai venuti al mondo) non avrebbe fatto altro che esporla formalmente (e scusatemi se è poco)? In fondo anche prima che gli umoni venissero al mondo se qualchuno possedeva una mela e dopo ne trovava un'altra aveva due mele anche se non ne fosse stato pienamente cosciente. Nonostante ciò mi piace pensare che la matematica sia un esclusiva dell'uomo o di esseri "intelligenti". Con ciò non voglio dire che post233 ha torto, anzi mi piace molto il suo ragionamento. :roll:

Spero di non aver scritto troppe stupidate. :oops:
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moebius
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Messaggio da moebius » 30 set 2005, 16:56

Una volta il mio professore di filosofia disse una frase che non scorderò (Alzeimer permettendo) mai:
"Due più due farebbe quattro anche se al mondo ci fossero solo tre oggetti."
E se tralasciamo i campi a caratteristica minore di 5, è esattamente il mio pensiero :D
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post233
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Messaggio da post233 » 30 set 2005, 17:22

moebius ha scritto:"Due più due farebbe quattro anche se al mondo ci fossero solo tre oggetti."
Sono perfettamente d'accordo con te; del resto, l'uomo sarebbe in grado di pensare un quarto oggetto a partire dalla semplice speculazione degli altri tre: superata la fase induttiva (se esistono 3 oggetti, posso "inventarmene" uno identico ad uno di essi o creato unendo caratteristiche specifiche dei tre a disposizione; ma allora posso pensarne anche un quinto, e dunque anche un sesto e così via), si passerebbe a definire "relazioni" e "operazioni" rese possibili dall'interazione di più oggetti fra loro e dunque si definirebbe la matematica.
Iron_man ha scritto:In fondo anche prima che gli umoni venissero al mondo se qualchuno possedeva una mela e dopo ne trovava un'altra aveva due mele anche se non ne fosse stato pienamente cosciente. Nonostante ciò mi piace pensare che la matematica sia un esclusiva dell'uomo o di esseri "intelligenti". Con ciò non voglio dire che post233 ha torto, anzi mi piace molto il suo ragionamento.
Ti ringrazio, anche a me piace molto il tuo ragionamento!
Ho soltanto una perplessità: nel momento stesso in cui, come dici tu, la matematica viene usata in modo inconscio, ciò presuppone sempre e comunque l'utilizzo del raziocinio, sia esso animale o umano. Chi è infatti a rendersi conto che una mela più una mela è uguale a due mele? Si tratta sempre di un essere pensante, che afferma ciò in virtù del proprio istinto (e, soprattutto, della propria esperienza) e, nell'istante stesso in cui pensa, si rende conto di star pensando, anche se non sa di stare facendo matematica in quel preciso momento. Questo dunque fa capire - almeno a mio parere - che la matematica non è intrinseca nell'universo, ma nella mente razionale - forse non soltanto in quella umana, anche se probabilmente una mente animale non è cosciente del proprio raziocinio -.
Ultima modifica di post233 il 05 ott 2005, 22:02, modificato 3 volte in totale.
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Messaggio da post233 » 01 ott 2005, 18:16

Ok, visto che la discussione è ad un punto morto, vorrei proporre un interrogativo che mi sono posto di recente, mentre chattavo: Gorgia (summus ex summis), nel difendere l'adultera Elena nella sua celebre opera affronta l'argomento (senza dubbio interessante, ma sul quale non mi soffermerò più di tanto per paura di andare fuori tema) della natura dell'amore.
Ora, generalizziamo il suo pensiero: qual è la natura dell'amore per qualcosa (e non più per qualcuno)? Mi spiego meglio: coloro che frequentano questo forum sono tutti o quasi, penso, appassionati di matematica e/o fisica e/o informatica, ecc. In generale, tutti abbiamo una passione.
Con un quesito analogo a quello posto da Faust, vorrei chiedere: da dove nasce una passione? Cosa spinge gli uomini ad appassionarsi di un determinato argomento? L'esperienza, l'innatismo, l'empirismo, cosa? E, soprattutto: perché, se la matematica è un concetto convenzionale - come sostengo io, ma sono dispostissimo a ricevere critiche - presente almeno a livello intuitivo nella mente di ognuno di noi, molti la adorano mentre molti altri la trovano insopportabile?
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Messaggio da moebius » 01 ott 2005, 18:58

perché, se la matematica è un concetto convenzionale - come sostengo io, ma sono dispostissimo a ricevere critiche - presente almeno a livello intuitivo nella mente di ognuno di noi, molti la adorano mentre molti altri la trovano insopportabile?
Ho notato che spesso (avrei potuto dire sempre) chi trova insopportabile la matematica, vi associa numeri, formule e niente più.
Essere bravo in matematica per molti significa saper fare i conti rapidamente, senza errori e conoscere più formule di quante se ne potranno mai utilizzarne. (La filosofia per cui un ragioniere è bravo in matematica).
Chi la ama sa che c'è una differenza sublime tra il cercare una soluzione e provare che una soluzione esiste; questa differenza, nonostante sia per "noi" facile da cogliere è impossibile da calcolare per ogni "ragioniere".
And this made the difference.
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Messaggio da post233 » 01 ott 2005, 21:10

Ancora una volta, non posso che essere perfettamente d'accordo con te.
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Messaggio da dimpim » 02 ott 2005, 10:10

Credo esista anche una componente "genetica", se vogliamo definirla così: la matematica richiede concentrazione, sforzo intellettuale, voglia di risolvere i problemi. C'è chi queste caratteristiche non le ha, e preferisce, ad esempio, fare una bella partita di calcio.
Indubbiamente, però, se la matematica fosse più spesso presentata non come un'esercizio di calcolo, ma come una stimolante sfida intellettuale, riscuoterebbe molto più successo.

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Messaggio da Iron_Man » 03 ott 2005, 17:35

Premetto che quella che sto andando ad esporre è un’ idea senza alcuna base scientifica fondata solo sulla mia esperienza.
Consideriamo il cervello da un punto di vista prettamente fisico, materiale (disposizione dei neuroni e delle varie cellule) sicuramente al mondo non ci sono due cervelli identici però tutti si rassomigliano per la loro struttura. Madre natura, se vogliamo chiamarla così senza polemizzare troppo, “crea” tutti gli uomini in modo simile: cioè tutti i nostri cervelli sono più o meno uguali. Per esempio se Tizio è bravo in matematica mentre Caio ha una raccolta infinita di 3 non è perché Tizio sia più intelligente di Caio, tant’è che al momento della loro nascita avevano le stesse potenzialità, solo successivamente le diverse esperienze anche quelle solo apparentemente più insignificanti come un libro letto oppure un film visto hanno portato ad un diverso sviluppo dei cervelli sempre dal punto di vista materiale che poi si è trasferito inevitabilmente al modo di pensare e di relazionarsi con il mondo che ci circonda. Ci sarebbe da precisare che come tutte le cose al mondo non ce ne sono due uguali quindi magari il punto di partenza di Tizio e Caio non è perfettamente lo stesso, per esempio potrebbero avere un carattere differente che li porta a interessarsi ad argomenti differenti.
:lol:
Non so se sono riuscito a spiegarmi comunque in sintesi io penso che alla nascita siamo tutti equipotenti e solo successivamente durante la crescita con un diverso sviluppo (dal punto di vista fisico) del cervello ci appassioniamo e possiamo anche mutiamo il nostro carattere. :roll:
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Gamma Beta
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Messaggio da Gamma Beta » 03 ott 2005, 17:37

Credo che la passione per la matematica derivi dalla soddisfazione che si ricava nel risolvere un problema. Concordo senz'altro con moebius, molta gente vede nella matematica solo un intricato dedalo di formule e grandi numeri. Forse, però, queste persone sostengono questo punto di vista perché trovano alcuni problemi assurdi o inutili perdite di tempo, non avendo questi, a volte, applicazioni pratiche nel vivere quotidiano, ma come un musicista può provare grande soddisfazione nel riuscire a suonare un pezzo particolarmente difficile, o un atleta nel superare i propri limiti fisici e stabilire un nuovo record personale, anche noi possiamo ritenerci soddisfatti a risolvere un problema, vuoi anche inutile dal punto di vista pratico, che ci ha spremuto fino in fondo ma alla fine possiamo dire "Ce l'ho fatta! IO ce l'ho fatta". Magari siamo arrivati a conclusioni ottenute già da qualcuno prima di noi, capita a volte di fare lunghe dimostrazioni e poi sentirsi dire "Tutto questo è riconducibile al teorema di...", ma quel che premia i nostri sforzi è la soddisfazione di essere giunti alla soluzione "con le nostre mani"!
"Il numero è la sostanza delle cose" Pitagora

Gamma Beta
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Messaggio da Gamma Beta » 03 ott 2005, 17:51

P.S.:scusatemi per i tre messaggi in fila, sono nuovo nel forum e non ho ancora molta pratica. Grazie per la vostra comprensione!
Gamma Beta


Ho cancellato i doppioni -- talpuz
(in ogni caso c'è la casellina per cancellarli nella finestra "modifica messaggio")
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Messaggio da post233 » 03 ott 2005, 18:21

In effetti, il mondo è bello perché è vario: giustamente, la cosa migliore è che ognuno di noi si specializzi e si interessi a passioni differenti (vi immaginate che noia, un mondo fatto di soli matematici :P ).
Del resto, ognuno deve "specializzarsi" nell'ambito che ritiene a lui più congeniale: non necessariamente quello in cui eccelle, se non gli piace affatto, ma uno in cui ritiene di potersi impegnare volentieri.
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