La matematica è un'opinione

Qui si parla del + e del -. Se per colpa della matematica ti hanno bandito dalla birreria, qui puoi sfogarti.
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mizu
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La matematica è un'opinione

Messaggio da mizu » 24 feb 2005, 21:02

La base assiomatica della matematica non sempre è così intuitiva, tant'è che molto spesso va risistemata e migliorata. Ma allora la matematica è un'opnione?

:)

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 24 feb 2005, 22:11

Spesso e volentieri, la matematica è stata ri-assiomatizzata non perché i suoi assiomi fossero poco intuitivi, ma per il motivo opposto.
Un esempio è il passaggio dalla teoria degli insiemi "naif" agli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Questa rivoluzione è avvenuta perché ci si è resi conto che gli insiemi, così com'erano stati definiti fino a quel momento (o meglio, come non erano stati definiti), ammettevano la nozione contradditoria di classe di tutte le classi.
Le geometrie non euclidee sono nate quando si è cercato di eliminare un postulato della geometria euclidea che esprime un fatto molto intuitivo nella nostra realtà, ma che è "scomodo" nella teoria formale.
E ci sono altri esempi.

Perciò la matematica è un'opinione, nel senso che ognuno può definire ciò che vuole e nel modo che vuole. Ma la matematica è anche e soprattutto l'arte del non contraddirsi... Una volta decise le definizioni, resta poco spazio per le opinioni.

mizu
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lmèuo

Messaggio da mizu » 24 feb 2005, 22:19

MindFlyer ha scritto:Spesso e volentieri, la matematica è stata ri-assiomatizzata non perché i suoi assiomi fossero poco intuitivi, ma per il motivo opposto.
Un esempio è il passaggio dalla teoria degli insiemi "naif" agli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Questa rivoluzione è avvenuta perché ci si è resi conto che gli insiemi, così com'erano stati definiti fino a quel momento (o meglio, come non erano stati definiti), ammettevano la nozione contradditoria di classe di tutte le classi.
Le geometrie non euclidee sono nate quando si è cercato di eliminare un postulato della geometria euclidea che esprime un fatto molto intuitivo nella nostra realtà, ma che è "scomodo" nella teoria formale.
E ci sono altri esempi.

Perciò la matematica è un'opinione, nel senso che ognuno può definire ciò che vuole e nel modo che vuole. Ma la matematica è anche e soprattutto l'arte del non contraddirsi... Una volta decise le definizioni, resta poco spazio per le opinioni.
Ma comunque bisogna decidere le definizioni........

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 24 feb 2005, 22:28

Inoltre, una simpatica abitudine dei matematici è lavorare in questo modo:
1) definire un qualche ente X seguendo l'intuizione; in questo stadio è chiaro quello che si sta facendo e dove si vuole andare a parare;
2) dimostrare un teorema che caratterizza X; il teorema di caratterizzazione è altamente non ovvio, ed esprime proprietà formali slegate dal contesto in cui X è stato definito;
3) rifare da capo la teoria, questa volta definendo X nel secondo modo, equivalente a quello originale, e quindi "invertendo" il teorema del punto 2;
4) far vedere che, grazie alla proprietà di X che salta magicamente fuori dal teorema (che non è altro che la sua definizione primigenia), X ha delle proprietà strafighe, che guarda caso sono esattamente quelle che vogliamo;
5) pubblicare il risultato di queste elucubrazioni, omettendo accuratamente ogni riferimento al punto 1 e al punto 2, in modo che il prodotto finale appaia come il risultato di un'illuminazione divina, e facendo piombare nello sconforto lo sprovveduto lettore, che si trova di fronte ad una teoria elegantissima ma incomprensibile, e che per qualche motivo "inspiegabile" funziona esattamente come ci si aspetta.

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