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Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 16:42
da Troleito br00tal
Enigma briccone!
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 16:42
da Troleito br00tal
Comunque beh, bello il 2 e pure il 5 e il 7!
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 17:31
da Triarii
Vogliamo il 6! Vogliamo il 6! (la soluzione intendo)
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 17:52
da Lasker
Solo io non riesco a "vedere" la soluzione del primo (ed anzi, ogni tentativo che ho fatto mi è parso sostanzialmente inutile)? Potreste darmi almeno un hint, visto che proprio non ci arrivo (e sì che, almeno dai punteggi, sembra essere molto facile
)?
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 18:22
da karlosson_sul_tetto
Lasker ha scritto:Solo io non riesco a "vedere" la soluzione del primo (ed anzi, ogni tentativo che ho fatto mi è parso sostanzialmente inutile)? Potreste darmi almeno un hint, visto che proprio non ci arrivo (e sì che, almeno dai punteggi, sembra essere molto facile
)?
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 18:37
da xXStephXx
A me son piaciuti soprattutto il primo, il quarto e l'ottavo
No vabbè il 7
Mi unisco alla richiesta della soluzione del 6... E magari c'erano anche altre soluzioni per il 3 oltre a quella che abbiamo già visto?
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 21:24
da jordan
Lasker ha scritto:Solo io non riesco a "vedere" la soluzione del primo (ed anzi, ogni tentativo che ho fatto mi è parso sostanzialmente inutile)? Potreste darmi almeno un hint, visto che proprio non ci arrivo (e sì che, almeno dai punteggi, sembra essere molto facile
)?
E' l'unica che ho scritto per ora:
In $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ we have $x^4=y^4$ for some non-zero integers $x,y$ if and only if $\left(x/y\right)^3+\left(x/y\right)^2+\left(x/y\right)+1=0.$
It means that if $\chi$ is a integer such that $\chi^3+\chi^2+\chi+1=0$, that exists by assumption, then $b=\chi a$, $c=\chi^2 a$ and $d=\chi^3 a$. It's enough to say that $ a+b+c+d=a(\chi^3+\chi^2+\chi+1)=0$ and $$a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}+d^{2013}=a^{2013}(\chi^{3\cdot 2013}+\chi^{2\cdot 2013}+\chi^{2013}+1)=0.$$Let's go back to the divisibility in $\mathbb{Z}$: clearly $0<a+b+c+d<4p$, implying that $a+b+c+d \in \{p,2p,3p\}$. But in every case $x \equiv x^{2013}\pmod{k}$ for every integer $x$ and $k \in \{1,2,3\}$: indeed $p$ has to be at least $5$ so that $\text{gcd}(k,p)=1$ and the conclusion follows by Chinese remainder theorem.
Piu' in generale, vedi
qui
Enigma, posti te il 6?
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 22:16
da ma_go
credo di avere una soluzione leggermente più semplice, jordan. vediamo se convinco il pubblico (e te).
chiamiamo $m = a^4$. allora $x^4-m$ ha quattro soluzioni distinte mod $p$, rappresentate da $a$, $b$, $c$ e $d$. siccome 4 è pari, abbiamo che $d = p-a$ e $c = p-b$, da cui $a+b+c+d = 2p$.
$a^k+b^k+c^k+d^k$ ha la stessa parità di $a+b+c+d$, quindi è pari per ogni $k$. inoltre, per $k$ dispari, $a^k+d^k \equiv 0$, perché $a\equiv -d$, quindi $a^k+b^k+c^k+d^k \equiv 0 \pmod{2p}$ per ogni $k$ dispari, ed in particolare per $k = 2013$.
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 14 nov 2013, 22:35
da <enigma>
Ecco la soluzione del 6. Se volete le figure fatevele voi con GeoGebra
Data una faccia $A_1 A_2 \ldots A_n$ sia $O$ il suo punto di tangenza con l'ipotetica sfera. Per ogni faccia la somma degli angoli $\angle A_i O A_{i+1}$ fa $2 \pi$: sommiamo poi su tutte le facce, prendendo gli angoli con segno positivo se la loro faccia è bianca e negativo se è nera. Poiché le facce nere sono in maggioranza, tale somma è negativa.
D'altra parte, date due facce con uno spigolo in comune $AB$ e punti di tangenza della sfera rispettivamente $O$ e $O'$, $\angle AOB= \angle AO'B$ per tangenza. Ma se prendiamo la somma di prima considerando questa osservazione, ci sono due tipi di coppie di facce adiacenti: una nera e una bianca (che contribuiscono 0) o entrambe bianche (che danno un contributo positivo). Dunque la somma di tutti gli angoli è positiva, assurdo.
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 15 nov 2013, 02:21
da jordan
ma_go ha scritto:credo di avere una soluzione leggermente più semplice, jordan. vediamo se convinco il pubblico (e te).
Si ma_go, tutti quelli che hanno risolto il problema hanno avuto la tua stessa soluzione
Ps. Thank you enigma
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 15 nov 2013, 07:10
da Lasker
Grazie dei chiarimenti! (non ho proprio pensato a usare il teorema fondamentale dell'algebra in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, in pratica non ho dedicato attenzioni all'approccio corretto
)
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 15 nov 2013, 23:54
da jordan
Lasker ha scritto:..non ho proprio pensato a usare il teorema fondamentale dell'algebra in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
Come vedi dalla soluzione di ma_go, si poteva anche evitare
Re: Oliforum contest 4th edition
Inviato: 16 nov 2013, 15:03
da scambret
Grazie mille per il contest