Oliforum contest 4th edition
- Troleito br00tal
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Re: Oliforum contest 4th edition
Comunque beh, bello il 2 e pure il 5 e il 7!
Re: Oliforum contest 4th edition
Vogliamo il 6! Vogliamo il 6! (la soluzione intendo)
"We' Inge!"
LTE4LYF
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Re: Oliforum contest 4th edition
Solo io non riesco a "vedere" la soluzione del primo (ed anzi, ogni tentativo che ho fatto mi è parso sostanzialmente inutile)? Potreste darmi almeno un hint, visto che proprio non ci arrivo (e sì che, almeno dai punteggi, sembra essere molto facile )?
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
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- karlosson_sul_tetto
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Re: Oliforum contest 4th edition
Lasker ha scritto:Solo io non riesco a "vedere" la soluzione del primo (ed anzi, ogni tentativo che ho fatto mi è parso sostanzialmente inutile)? Potreste darmi almeno un hint, visto che proprio non ci arrivo (e sì che, almeno dai punteggi, sembra essere molto facile )?
Testo nascosto:
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"
Re: Oliforum contest 4th edition
A me son piaciuti soprattutto il primo, il quarto e l'ottavo
No vabbè il 7
Mi unisco alla richiesta della soluzione del 6... E magari c'erano anche altre soluzioni per il 3 oltre a quella che abbiamo già visto?
No vabbè il 7
Mi unisco alla richiesta della soluzione del 6... E magari c'erano anche altre soluzioni per il 3 oltre a quella che abbiamo già visto?
Re: Oliforum contest 4th edition
E' l'unica che ho scritto per ora:Lasker ha scritto:Solo io non riesco a "vedere" la soluzione del primo (ed anzi, ogni tentativo che ho fatto mi è parso sostanzialmente inutile)? Potreste darmi almeno un hint, visto che proprio non ci arrivo (e sì che, almeno dai punteggi, sembra essere molto facile )?
In $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ we have $x^4=y^4$ for some non-zero integers $x,y$ if and only if $\left(x/y\right)^3+\left(x/y\right)^2+\left(x/y\right)+1=0.$
It means that if $\chi$ is a integer such that $\chi^3+\chi^2+\chi+1=0$, that exists by assumption, then $b=\chi a$, $c=\chi^2 a$ and $d=\chi^3 a$. It's enough to say that $ a+b+c+d=a(\chi^3+\chi^2+\chi+1)=0$ and $$a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}+d^{2013}=a^{2013}(\chi^{3\cdot 2013}+\chi^{2\cdot 2013}+\chi^{2013}+1)=0.$$Let's go back to the divisibility in $\mathbb{Z}$: clearly $0<a+b+c+d<4p$, implying that $a+b+c+d \in \{p,2p,3p\}$. But in every case $x \equiv x^{2013}\pmod{k}$ for every integer $x$ and $k \in \{1,2,3\}$: indeed $p$ has to be at least $5$ so that $\text{gcd}(k,p)=1$ and the conclusion follows by Chinese remainder theorem.
Piu' in generale, vedi qui
Enigma, posti te il 6?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Oliforum contest 4th edition
credo di avere una soluzione leggermente più semplice, jordan. vediamo se convinco il pubblico (e te).
chiamiamo $m = a^4$. allora $x^4-m$ ha quattro soluzioni distinte mod $p$, rappresentate da $a$, $b$, $c$ e $d$. siccome 4 è pari, abbiamo che $d = p-a$ e $c = p-b$, da cui $a+b+c+d = 2p$.
$a^k+b^k+c^k+d^k$ ha la stessa parità di $a+b+c+d$, quindi è pari per ogni $k$. inoltre, per $k$ dispari, $a^k+d^k \equiv 0$, perché $a\equiv -d$, quindi $a^k+b^k+c^k+d^k \equiv 0 \pmod{2p}$ per ogni $k$ dispari, ed in particolare per $k = 2013$.
chiamiamo $m = a^4$. allora $x^4-m$ ha quattro soluzioni distinte mod $p$, rappresentate da $a$, $b$, $c$ e $d$. siccome 4 è pari, abbiamo che $d = p-a$ e $c = p-b$, da cui $a+b+c+d = 2p$.
$a^k+b^k+c^k+d^k$ ha la stessa parità di $a+b+c+d$, quindi è pari per ogni $k$. inoltre, per $k$ dispari, $a^k+d^k \equiv 0$, perché $a\equiv -d$, quindi $a^k+b^k+c^k+d^k \equiv 0 \pmod{2p}$ per ogni $k$ dispari, ed in particolare per $k = 2013$.
Re: Oliforum contest 4th edition
Ecco la soluzione del 6. Se volete le figure fatevele voi con GeoGebra
Data una faccia $A_1 A_2 \ldots A_n$ sia $O$ il suo punto di tangenza con l'ipotetica sfera. Per ogni faccia la somma degli angoli $\angle A_i O A_{i+1}$ fa $2 \pi$: sommiamo poi su tutte le facce, prendendo gli angoli con segno positivo se la loro faccia è bianca e negativo se è nera. Poiché le facce nere sono in maggioranza, tale somma è negativa.
D'altra parte, date due facce con uno spigolo in comune $AB$ e punti di tangenza della sfera rispettivamente $O$ e $O'$, $\angle AOB= \angle AO'B$ per tangenza. Ma se prendiamo la somma di prima considerando questa osservazione, ci sono due tipi di coppie di facce adiacenti: una nera e una bianca (che contribuiscono 0) o entrambe bianche (che danno un contributo positivo). Dunque la somma di tutti gli angoli è positiva, assurdo.
Data una faccia $A_1 A_2 \ldots A_n$ sia $O$ il suo punto di tangenza con l'ipotetica sfera. Per ogni faccia la somma degli angoli $\angle A_i O A_{i+1}$ fa $2 \pi$: sommiamo poi su tutte le facce, prendendo gli angoli con segno positivo se la loro faccia è bianca e negativo se è nera. Poiché le facce nere sono in maggioranza, tale somma è negativa.
D'altra parte, date due facce con uno spigolo in comune $AB$ e punti di tangenza della sfera rispettivamente $O$ e $O'$, $\angle AOB= \angle AO'B$ per tangenza. Ma se prendiamo la somma di prima considerando questa osservazione, ci sono due tipi di coppie di facce adiacenti: una nera e una bianca (che contribuiscono 0) o entrambe bianche (che danno un contributo positivo). Dunque la somma di tutti gli angoli è positiva, assurdo.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Re: Oliforum contest 4th edition
Si ma_go, tutti quelli che hanno risolto il problema hanno avuto la tua stessa soluzionema_go ha scritto:credo di avere una soluzione leggermente più semplice, jordan. vediamo se convinco il pubblico (e te).
Ps. Thank you enigma
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Re: Oliforum contest 4th edition
Grazie dei chiarimenti! (non ho proprio pensato a usare il teorema fondamentale dell'algebra in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, in pratica non ho dedicato attenzioni all'approccio corretto )
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Re: Oliforum contest 4th edition
Come vedi dalla soluzione di ma_go, si poteva anche evitareLasker ha scritto:..non ho proprio pensato a usare il teorema fondamentale dell'algebra in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
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Re: Oliforum contest 4th edition
Grazie mille per il contest