Didattica matematica?

[SkZ]

forse il maggior problema e' la didattica del biennio: dedicando piu' tempo alle ore di matematica togliendo magari 1 h a latino (attenzione: io adoro il latino), magari si potrebbe fare un po' meglio "insiemistica" ovvero fare parte di topologia e introdurre per bene le successioni.
Almeno in corsi sperimentali dichiaratamente piu' difficili. il guaio pero' e' che tutti i genitori iscriverebbero cmq i loro figli a quelle sezioni per non far sembrare i figli meno portati o meno intelligenti, ergo ci si troverebbe cmq delle capre che non comprendono nulla e che rallentano la classe: non puoi direa un genitore che deve cambiare di sezione il figlio perche' non ha le capacita' per seguire lo sperimentale (temo soprattutto se il programma non e' quello di legge). Toccherebbe fare delle sezioni "Normale" che necessitano di una certa media per rimanerci


Maioc, sono 3 di storia e 3 di filosofia. E devo ammettere che la filosofia e' necessaria saperla un po'.

[Tibor Gallai]

Bello il coso di Lockhart, però secondo me trascura un fatto: l'assimilazione umana delle idee (matematiche) fluttuanti nel cosmo non è in genere automatizzata né molto facilitata dai 5 sensi. Di conseguenza, anche la comunicatività di idee matematiche ne risente: posso concepire dell'arte sotto forma di idee matematiche, posso esternarla in qualche modo più o meno standardizzato (un teorema scritto in matematichese su un foglio?). Il guaio è che nessuno, trovandosi nei pressi di questa mia esternazione di idee, percepirà la natura o l'esistenza di queste idee con un atto passivo-involontario, solamente in virtù dei propri 5 sensi. Nessun senso umano fa da tramite fra le idee di qualcuno e la mente di qualcun altro. Voglio dire che non esiste un violino che spara idee matematiche direttamente nel cervello della gente come se fossero musica, in buona sostanza. O se esiste, nessuno lo sa suonare. Da qui la necessità di un pesante formalismo ed una volontà attiva da parte del fruitore...

Comunque sarebbe interessante come esperimento prendere una classe elementare e, al posto degli esercizi di matematica, fargli fare delle sessioni di brainstorming a tema libero, per allenarne la sensibilità/creatività. All'inizio rigorosamente come lavoro singolo, poi se si riesce come lavoro collettivo a piccoli gruppi. Alla fine ognuno scrive a parole quello che ha pensato... Meglio che può, ovviamente... E' chiaro che nessuno di loro produrrà un lavoro degno di Gauss, ma d'altra parte non è questo lo scopo. Come farli diventare dei piccoli Van Gogh non è lo scopo delle lezioni sperimentali di pittura (non so se voi le facevate, ma io sì...).

Oltre a ciò, mi si poneva anche un altro problema, sempre riguardo alla separazione, in matematica, di ciò che è arte da ciò che veicola l'arte, ma di per sé è un vuoto involucro (alla stregua della tela del pittore). Siamo d'accordo che la simbologia non è arte in senso matematico, siamo d'accordo che le regole formali di manipolazione dei simboli non sono di solito arte in senso matematico. Ma quand'è che una dimostrazione è arte? Penso che la necessità di dimostrare le idee matematiche nasca in gran parte dalla loro intrinseca incomunicabilità. Tuttavia esistono dimostrazioni brutte e dimostrazioni artisticamente belle, indipendentemente dall'enunciato che intendono dimostrare. Allora, è bello ciò che si contempla, il teorema nella sua forma finale, o è bello il processo dimostrativo? Ha senso separare le due cose?

Mi viene da pensare che Hardy contemplasse le equazioni della prima lettera di Ramanujan come un quadro di un artista in quanto belle. Ma dov'era la bellezza?
Nel fatto sorprendente che fossero vere? Non credo, la loro verità non era immediatamente apprezzabile da parte di Hardy, quindi non poteva creare alcuna emozione in lui... Infatti, se anche fossero state false e Hardy fosse stato ingannato, la sua emozione iniziale sarebbe stata esattamente la stessa. Quindi non erano le formule a determinare l'emozione, ma l'aspettativa che esse generavano. Ergo la verità delle formule non era il loro aspetto bello.
Nel fatto sorprendente che qualcuno le avesse trovate e forse dimostrate? In questo caso non sarebbero arte di per sé, ma più virtuosismi, cioè esibizione ed esaltazione di qualità umane, e quindi non bellezza in senso assoluto ma in quanto prodotta da un umano. In questo caso, se le avesse prodotte un computer sarebbero state giudicate meno belle, ma la bellezza dev'essere slegata da chi la esterna, perché prescinde da un comunicatore ed esiste di per sé.
Nel fatto che forse l'autore poteva aver avuto delle belle idee matematiche, da cui ha ricavato quelle identità come prodotto finale? Questo è plausibile, infatti la prima cosa che Hardy chiese a Ramanujan furono le dimostrazioni... E quando si scontrò con l'incomunicabilità delle idee di Ramanujan, ne restò deluso.

Quindi anche in questo esempio si vede che la lettera di Ramanujan non era veicolo di bellezza in modo così diretto come può essere il quadro di un artista. La sequenza di formule veicolava surrogati di bellezza, aspettative di bellezza, etc. Tutto questo per dire che non c'è da stupirsi se la nostra cultura non percepisce la matematica come arte, ma la pittura e la musica sì. Non è la nostra cultura ad essere miope, è luomo a non essere intrinsecamente adatto a comunicare, recepire e condividere idee matematiche.

[Carlein]

Mi piace quello che dice Tibor: penso che dietro le esperienze matematiche di quasi tutti noi c'è dietro questo elemento comune: quand'è che un'enunciato, una formula un problema ci intriga?Quando in molte parti della nostra testa inizia a saltare la domanda: minchia e com'è che sta cosa è vera? La cosa interessante è che in realtà questo è vero un pò ovunque: in poesia, in letteratura,in musica, nella vita quotidiana, forse perfino nell amore(si quando ad esempio vedi un altro essere umano, e ti chiedi quale stramplato percorso farà in modo che tu riesca a frequentarlo). Quello che a noi esser umani piace non sono le cose, ma le reti che le collegano: quello che ci appassiona all'improvviso di una situazione è che prevede reti che forse sospettiamo di non aver mai contemplato, e quindi esiste una ragione per vagare un altro pò per questo pianeta. Nella matematica è più palese, per il semplice motivo che è(la) più libera nel porre i suoi oggetti di definizione(ossia ha più libertà di astrarsi)e quindi ci appare più chiaro che ciò che resta sono essenzialmente i percorsi...nella vita un pò meno perchè abbiamo molti termini concreti di riferimento...e quindi spesso ci confondiamo e diciamo che ci piacciono le cose.
In perfetta teoria la scuola dovrebbe riuscire a dare questo ovunque non solo nella matematica:comunque in matematica ad esempio non è tanto importante che venga fatta una lezione in cui dai di punto in bianco una dimostrazione di queste cose, o anche se fai alcuni esempi prima e poi gli dai la dimostrazione non serve a niente. Devi trovare il modo astuto che sia il ragazzo stesso a porsi tutta una serie di dubbi oppure che provi brutalmente a stabilire degli enunciati intuitivi in materia ( proponendogli magari all'inizio una questione molto intuitiva e apparentemente gestibile) sbagliando in un sacco di passaggi. Allora quando gli chiederai diecimila volte: e chi ti dice che questo è vero? apprezzerà un sacco tutte le definizioni astratte e sistematiche che piano piano gli darai, e a quel punto che sta in terza media o al 20simo anno di università non cambia più un tubo:la capisce e la apprezza uguale, come capisce e apprezza svariate cose nella sua vita vera non accademica, e finalmente non sentirà più la differenza(artificiosa e dovuta appunto ad una cattiva poedagogia) tra le due cose

[Nonno Bassotto]

@Tibor: Al di là dell'eterna discussione sul fatto che la matematica sia o meno arte, l'articolo di Lockhart sta in piedi lo stesso. Voglio dire, anche se non è arte, non c'è bisogno di violentarla come viene fatto adesso.

[Tibor Gallai]

@Tibor: Al di là dell'eterna discussione sul fatto che la matematica sia o meno arte, l'articolo di Lockhart sta in piedi lo stesso. Voglio dire, anche se non è arte, non c'è bisogno di violentarla come viene fatto adesso.

Ommamma, non sto minimamente cercando di sostenere l'insostenibile tesi che la matematica non sia arte!
La mia lunga esternazione (magari dispersiva?) era solo un tentativo di spiegare come mai la realtà è questa e non un'altra. Ovvero, come mai la matematica è generalmente percepita e insegnata in questo modo... Con riferimento ai vari punti in cui Lockhart fa il parallelo tra matematica e pittura, matematica e musica, etc. La mia tesi è che non c'è da stupirsi dell'assurdità dei paradossi di Lockhart, perché ci sono limitazioni umane intrinseche nella percezione della matematica, che non sono culturali ma fisiologiche, e che non esistono nei confronti di pittura e musica.
Forse ho messo troppo impegno nell'articolare un pensiero, e troppo poco impegno nell'evidenziare l'idea di base...

Per continuare il parallelo con la musica, lo stato attuale della matematica è questo: abbiamo gli spartiti musicali, possiamo immaginare della musica nella nostra mente, ma non abbiamo strumenti musicali, né aria attraverso cui le onde sonore possano propagarsi. Inoltre siamo sordomuti. Quindi, per poter apprezzare della musica-matematica, dobbiamo prendere lezioni, imparare a leggere le note e tutta una serie di nozioni teoriche e convenzioni, scambiarci gli spartiti, leggerli e immaginare nella nostra mente la musica che producono, e sperare che si avvicini a quella immaginata dall'autore, consci delle limitazioni espressive degli spartiti stessi.
Ergo, esiste della musica-arte in quanto tale: musica come accostamento "bello" di note. Non esiste della musica-arte come produzione umana sensibile, e questo ne limita fortemente la fruibilità. Qualcuno non riuscirà mai ad immaginare della musica né lo riterrà concepibile né ci proverà, qualcuno dirà che la musica è noiosa ignorando cosa sia, etc.

[EvaristeG]

ora non ho il tempo di intervenire come dovrei... una piccola nota a Kopernik:
Nemmeno chiusi in chiusi e per restare nei reali basta prendere la funzione
$ f(x)=\frac{2+\sin(x)}{x} $ questa manda la semiretta chiusa $ [a,+\infty) $ (che è un chiuso, perchè contiene tutti i limiti di successioni convergenti che stanno in essa), nell'insieme $ (0,b] $ che non è né chiuso né aperto.
E' vero che manda chiusi limitati in chiusi limitati, ma questo è esattamente il teorema di Weierstrass che vuoi dimostrare (un chiuso limitato in R è un compatto e viceversa).

[Kopernik]

ora non ho il tempo di intervenire come dovrei... una piccola nota a Kopernik:
Nemmeno chiusi in chiusi
E' vero che manda chiusi limitati in chiusi limitati, ma questo è esattamente il teorema di Weierstrass che vuoi dimostrare (un chiuso limitato in R è un compatto e viceversa).

Grazie per la precisazione e per i tuoi esempi, Evariste; come vedi sono molto distratto (lo sono anche a lezione, purtroppo), ma non sono così brocco come sembro. Intendevo dire, infatti chiusi e limitati. Conosco bene come si dimostra precisamente Weierstrass, ma il problema, come ho già detto, è che non posso farlo a scuola in modo preciso perché è troppo difficile. Quello di cui stavo parlando è un progetto didattico. Lo so che il mio procedimento ha un certo grado di circolarità e contiene delle lacune (è inevitabile che ce ne siano,data la necessità di semplificare), ma a me sembra un tentativo, per quanto goffo, di dare un'idea agli studenti di quali sono gli strumenti per affrontare l'argomento. Sempre meglio, secondo me, che basare l'intera analisi, da Weierstrass in poi, su un atto di fede. Se poi vi ci mettete, tutti insieme, a cercare dei controesempi, è ovvio che ci riuscite. Ci riuscirei io stesso, ma non è questo il punto.
Comunque, con un amico dell'Università di Udine, sto tentando di elaborare uno schema diverso per arrivare a Weierstrass. Sarà certamente ancora lacunoso, ma spero di avere qualcosa di migliore per i prossimi anni scolastici. Ne discuterò volentieri con chi è interessato (sicuramente con Tibor).

[Nonno Bassotto]

Ti rispondo di nuovo perché forse fra tutto quello che ho scritto non ho evidenziato qual era il punto del mio post.

Secondo me si possono benissimo dare per buoni i teoremi del valore intermedio e di Weierstrass se non si riesce a dimostrarli. Non so quanto faccia bene una pseudo dimostrazione che in realtà è scorretta e potrebbe causare difficoltà agli studenti che non riescono a seguirla (perché appunto non è una dimostrazione).

Quello che proponevo io era di dare sì per buoni questi due risultati, ma far capire bene qual è il loro significato. Ogni teorema risolve un problema e gli studenti non capiranno bene il senso dei due teoremi fino a che non si sono posti questo problema.

Il teorema del valore intermedio sembra del tutto ovvio. Uno studente potrebbe chiedersi che senso ha insistere su un fatto così banale piuttosto che su altri. Il significato del teorema, per come lo vedo io, è che i reali sono un buon modello per la retta geometrica (o almeno hanno una delle proprietà che ci si aspetterebbe). I razionali ad esempio no, ma non è per niente evidente. Per cui premetterei al teorema una discussione sulla differenza tra real e razionali (nota che il concetto di funzione continua va benissimo anche sui razionali). Gli studenti sono abituati ad usare coordinate reali nel piano cartesiano, ma nessuno li ha mai convinti che reali e rette si somiglino.

Il teorema di Weierstrass risolve un problema di esistenza di minimo. Credo che la reazione di uno studente sia del tipo: chi se ne frega; a maggior ragione più avanti, quando i minimi imparano a calcolarli a manetta. Per capire la non banalità di questo teorema farei vedere una situazione in cui il solo fatto di sapere che un minimo c'è ci aiuta a trovarlo. Ad esempio un problema di minimo geometrico in cui è facile vedere che se il minimo esiste allora è un certo oggetto x (esempio problema isomperimetrico, ma anche qualcosa di più facile). Inoltre farei vedere un secondo problema in cui la seconda parte del ragionamento fili precisamente come nel primo caso (se il minimo esiste è l'oggetto x), ma il minimo non esiste. Questo probabilmente è più difficile da trovare. Dopo questa discussione uno studente dovrebbe apprezzare un po' di più il valore di un principio astratto che garantisce sempre l'esistenza di minimi in certe situazioni.

Boh, questo è solo il mio consiglio. Ciao

[Kopernik]

Grazie dei tuoi consigli. Apprezzo molto il parere di qualcuno esterno alla scuola perché noi insegnanti a volta abbiamo la tendenza a fossilizzarci su quello che facciamo. Rifletterò seriamente sulla possibilità di ritornare a spiegare Weierstrass senza dimostrazione. Peraltro, come ho scritto in un intervento precedente, non mi sono arreso. Sto cercando ancora un'altra via, completamente diversa, che sottoporrò a chiunque abbia la pazienza di leggerla. E leggerò con attenzione le proposte di chiunque. Le vostre opinioni mi interessano perché, imparando a conoscervi da questo forum, ho apprezzato la vostra serietà e competenza.

[drago90]

Ho notato che sul mio libro di analisi la dimotrazione del teorema di Weierstrass è completamente ignorata, qualcuno avrebbe un idea di dove trovarne una buona?grazie.