Didattica matematica?

Qui si parla del + e del -. Se per colpa della matematica ti hanno bandito dalla birreria, qui puoi sfogarti.
Tibor Gallai
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Didattica matematica?

Messaggio da Tibor Gallai » 04 nov 2009, 00:24

Da qui: viewtopic.php?t=13774
edriv ha scritto:Certo che è scandaloso che argomenti così intuitivi (come l'esistenza di un massimo nella funzione in questione) siano relegati alla matematica non elementare. :(
Che voi sappiate, nessuno ha mai fatto uno studio pedagogico sull'insegnamento di certi concetti topologici in contemporanea, ad esempio, alla geometria euclidea?
Questo è interessante. Secondo me, parte dei motivi per cui non si fanno quelle cose al liceo sono essenzialmente storici: si presenta la geometria euclidea praticamente nella forma elaborata da Euclide, come se fosse una materia umanistica, alla stregua di letteratura latina o filosofia. In effetti non so come siano le cose in altri paesi, magari culturalmente meno legati alla Grecia antica.

D'altra parte il mio libro di 4^ faceva un po' di analisi partendo proprio da una definizione farlocca di R, proprietà di separazione e teorema di Weierstrass. Conteneva della topologia in uno stadio embrionale, definiva punti di accumulazione di sottoinsiemi di R, punti isolati, etc. Non dimostrava il teorema di Weierstrass, ma faceva intuire come mai le varie ipotesi fossero necessarie, con un po' di controesempi. Richiamava poi il teorema di Weierstrass al momento di dimostrare il teorema di Rolle...
Non poteva nemmeno tanto dimostrare Weierstrass, perché non aveva tutti i risultati preliminari su cui si basa, primo tra tutti Bolzano-Weierstrass. Insomma, avrebbe dovuto aprire una parentesi gigantesca di cose superflue ai fini del brutale calcolo manuale di limiti, massimi, derivate etc. Il che era lo scopo principale del libro e dei programmi ministeriali, tra l'altro.

La mia particolare esperienza però è stata un po' diversa, e forse qui c'è da ricavarne una lezione di didattica. In 3^ e 4^ avevo un professore di matematica e fisica che era in realtà un fisico, e ci ha fatto un corso propedeutico di analisi fin dall'inizio di 3^, al solo scopo di parlarci di cinematica e integrali senza dover sommare rettangolini come fa l'Amaldi ogni 2 pagine.
Intento encomiabile, ma l'attuazione lasciava molto a desiderare, perché (come ho stabilito più di recente, ripensandoci), quel professore non aveva idea di cosa stesse insegnando, e non aveva capito molto di analisi. Insomma, ci ha presentato l'analisi come una corsa forsennata verso l'algoritmizzazione dello studio di funzioni, senza farci seguire un libro e senza farci capire nulla.
In 5^ ho avuto un professore che invece seguiva il libro, e tra le prime cose ci ha presentato 'sto teorema di Rolle, che citava un fantomatico teorema di Weierstrass (mai sentito prima...), il quale sosteneva che una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato doveva avere massimo. E il nostro commento subitaneo è stato: ma c'era bisogno di un teorema?? E soprattutto: ma qualcuno si era pure preso la briga di dimostrarlo e di appiopparci il suo nome??!? Per noi era ovvio perché non avevamo mai visto i vari controesempi in assenza delle ipotesi, a stento avevamo visto una funzione discontinua, calcolavamo massimi e minimi a macchinetta da un annetto o due, etc. Manco a dirlo, mi pare che il prof non fosse nemmeno in grado di spiegarci perché e percome il teorema di Weierstrass fosse utile (sì, era un fisico pure lui...).

Quindi in definitiva mi pare che siamo molto lontani dall'avere nei licei quello che auspica edriv. Mi ricordo com'ero io, com'erano i miei compagni, e com'erano i professori. Posso dire che in un'ottica liceale si tratta più di una raffinatezza, che i problemi sono ben altri e ben più alla base. Praticamente nessuno studente capirebbe la teoria, praticamente nessun professore la saprebbe capire così bene da poterla insegnare, etc. Al liceo si insegnano algoritmi di calcolo sotto forma di ricettari, capire le cose è un vezzo superfluo. Spesso è così anche all'università, figuriamoci al liceo.
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Messaggio da SkZ » 04 nov 2009, 02:38

Non era un fisico, ma una capra!
Io non ho fatto Matematica ma i corsi di Analisi erano belli pengi e completi (ora fanno orrore). quando ancora "Analisi 2" DeMarco era in 2 volumi :roll:
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Messaggio da Tibor Gallai » 04 nov 2009, 03:19

Sìsì, non dico che non abbiano fatto analisi all'università, l'avranno fatta e anche bene, ma sicuramente hanno "perso qualche pezzo per strada", e non la insegnavano così bene.
Ho visto anche professori di matematica (e matematici) giudicati bravissimi che brancolavano nel buio appena gli chiedevi qualcosa che usciva di 2 millimetri dal programma ministeriale. In 2^ andai dalla mia prof di matematica (una di quelle "bravissime") e le chiesi con l'infinita ingenuità che mi apparteneva se esistesse una funzione inversa del seno... Lei mi guardò stralunata e mi consigliò di chiedere a un professore del triennio perché non era il suo campo.
Evidentemente insegnare la stessa cosa per anni e anni ti fa dimenticare tutto il resto, e apparentemente essere un fisico ti fa percepire la matematica come uno strumento per fare conti.
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Messaggio da SkZ » 04 nov 2009, 13:55

non a tutti i fisici piace la matematica e l'analisi.
Conosco gente bravissima e dottoranda ma che ricorda nulla di analisi.

io grazie al cielo mi sono salvato con il forum, Calde' (ovvero Sam che mi ricordava quanto male ricordavo) e ripetizioni di analisi date ad un amico
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Messaggio da Kopernik » 04 nov 2009, 19:10

Come insegnante di Liceo, devo ammettere che le vostre riflessioni mi mettono un'enorme tristezza, ma le condivido in gran parte. Molti miei colleghi non mettono alcuna passione in ciò che fanno, e ciò li porta negli anni a dimenticare tutto ciò che esce dal "programma". Il problema ha radici molto antiche, e non è proprio il caso di parlarne qui, nemmeno in birreria: un misto di metodi insensati di reclutamento, insoddisfazione economica e sociale, e molto altro.
Io sono laureato in fisica, e la preparazione che ho avuto in matematica è drasticamente inadeguata per insegnare. Ho imparato la maggior parte delle cose studiando per conto mio e soprattutto insegnandole. Continuo a studiare, quotidianamente, perché mi piace; ma devo ammettere che nella scuola non c'è nessun incentivo a prepararsi meglio, anzi casomai è il contrario.
Se vi interessa possiamo proseguire anche la discussione su Weierstrass, ma è un po' tecnica e andrebbe in matematica non elementare.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Messaggio da Tibor Gallai » 05 nov 2009, 07:49

Kopernik ha scritto:Il problema ha radici molto antiche, e non è proprio il caso di parlarne qui, nemmeno in birreria [...]
Se vi interessa possiamo proseguire anche la discussione su Weierstrass, ma è un po' tecnica e andrebbe in matematica non elementare.
Per me puoi discutere di tutte queste cose anche qui; anzi: ti esorto a farlo, perché mi interessa tutto quello che hai da dire.
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Messaggio da Kopernik » 05 nov 2009, 08:48

Ti rispondo intanto su Weierstrass, perché tra poco devo andare in classe.
La maggior parte dei libri per i Licei enuncia sia Weierstrass sia il teorema dei valori intermedi senza dimostrazione, e da questi deduce, tra gli altri, Rolle ed esistenza degli zeri. Ovviamente questo significa chiedere agli studenti un atto di fede: non è fare matematica. Peraltro in un corso base di liceo scientifico, dove in tre (3!) ore alla settimana bisogna portare 25-30 ragazzi a fare lo scritto di matematica, è abbastanza normale che un docente sacrifichi la teoria a vantaggio degli esercizi; qualche volta l'ho fatto anch'io, soprattutto con classi modeste in cui sapevo in anticipo che non avrebbero capito né apprezzato le dimostrazioni.
Diverso è il caso delle sezioni sperimentali, dove dimostro che una funzione continua mappa intervalli in intervalli: da questo risultato discendono elegantemente tutti gli altri che ho citato, e i ragazzi, generalmente più motivati, colgono il significato di quello che faccio. Dimostrare Weierstrass al liceo con le successioni è pura utopia: troppo difficile, non seguirebbe (quasi) nessuno.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Messaggio da Tibor Gallai » 05 nov 2009, 19:17

Kopernik ha scritto:Diverso è il caso delle sezioni sperimentali, dove dimostro che una funzione continua mappa intervalli in intervalli: da questo risultato discendono elegantemente tutti gli altri che ho citato
Potresti approfondire questa cosa? Volevo uno sketch (anche molto sommario, se non ti vuoi dilungare) del percorso dimostrativo che segui per spiegare tutti quei fatti.
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Messaggio da Kopernik » 05 nov 2009, 19:55

Ipotesi: f continua su un intervallo. Supponi per assurdo che l'insieme immagine sia formato da due intervalli disgiunti; prendi un valore y compreso tra i due intervalli: è facile dimostrare che questo implica che anche il dominio debba essere formato da (almeno) due intervalli disgiunti, quindi hai dimostrato la tesi.
A questo punto, se il dominio è un intervallo chiuso e limitato, anche la sua immagine dev'essere chiusa e limitata: quindi ha massimo e minimo (che coincidono con i suoi estremi).
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Messaggio da Tibor Gallai » 05 nov 2009, 21:47

Kopernik ha scritto:Ipotesi: f continua su un intervallo. Supponi per assurdo che l'insieme immagine sia formato da due intervalli disgiunti; prendi un valore y compreso tra i due intervalli: è facile dimostrare che questo implica che anche il dominio debba essere formato da (almeno) due intervalli disgiunti, quindi hai dimostrato la tesi.
Allora: con "intervalli" intendi sempre intervalli chiusi? O talora aperti, talora chiusi, ...?
Seconda cosa: qual è la tesi? Che l'immagine dell'intervallo chiuso e limitato secondo f è un intervallo chiuso e limitato? Allora la negazione della tesi non è proprio che l'immagine sia formata da due intervalli disgiunti. La negazione della tesi è che l'immagine sia illimitata, o che esista un punto non appartenente all'immagine che ha punti dell'immagine arbitrariamente vicini, o che esistano 2 punti dell'immagine fra i quali vi è un punto non nell'immagine. Come dimostri l'assurdo in questi 3 casi?
Terza cosa: restringendoci alla tua parte di dimostrazione, come dimostri che se il codominio contiene un y siffatto, il dominio è disconnesso (che, se capisco bene, è quello che intendi fare)?
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Messaggio da Kopernik » 06 nov 2009, 08:43

Scusa, non sono stato abbastanza chiaro perché non avevo tempo. Quando intendo intervallo, questo può essere indifferentemente aperto o chiuso, limitato o illimitato. La tesi è che l'immagine di un intervallo secondo una funzione continua è ancora un intervallo (l'immagine di un aperto è aperta, di un chiuso è chiusa; però l'immagine di un intervallo aperto limitato può tranquillamente essere illimitata: basta pensare a y=1/x definita in (0, 1)). La negazione della tesi è: l'immagine non è un intervallo; affermare che l'immagine sia formata da due intervalli non è il caso più generale possibile (potrebbero essere n intervalli, o infiniti, oppure potrebbero esserci dei punti isolati), ma si può generalizzare successivamente; e comunque tieni presente che stiamo parlando di un liceo dove non posso astrarre eccessivamente. Per i dettagli della dimostrazione li posto appena ho un po' di calma nei prossimi giorni.
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Messaggio da Tibor Gallai » 06 nov 2009, 09:21

Kopernik ha scritto:affermare che l'immagine sia formata da due intervalli non è il caso più generale possibile (potrebbero essere n intervalli, o infiniti, oppure potrebbero esserci dei punti isolati), ma si può generalizzare successivamente;
Eh, non voglio essere troppo pedante (rischio di esserlo e, come dici anche tu, non si può astrarre troppo!), ma questo mi sembra un bel problemone!

Intanto: se capisco bene, un singolo punto non è un intervallo (chiuso), secondo le tue definizioni. Ok.
Appurato ciò, esistono molti insiemi di reali che non sono unioni di intervalli e di punti isolati (esempio: l'insieme dei razionali). Ho detto "molti", ma potevo dire "quasi tutti", considerando le cardinalità... Cioè, la condizione standard per un insieme di reali è disobbedire alla tua caratterizzazione "spiccia" (ripeto: senza offesa, comprendo e condivido la necessità di semplificare). Il che purtroppo non giova alla tua dimostrazione.
Più a margine, va osservato pure che escludere le coppie di intervalli permette giustamente ed automaticamente di escludere le unioni finite di intervalli. Ma per le unioni infinite non è necessariamente così automatico, e per capirlo bisogna esaminare i dettagli della dimostrazione (ovvero, quali ipotesi usi veramente, e quali si possono indebolire). Per fare un esempio, qui bisogna cautelarsi da cose come il complementare dell'insieme di Cantor, etc...

Al di là di questo, diamo per buono momentaneamente che una funzione continua manda connessi in connessi (cioè intervalli in intervalli). Mi interessano 2 cose, sempre nell'ambito di questo "percorso didattico": oltre ai dettagli della dimostrazione che hai promesso, volevo anche la dimostrazione che un intervallo chiuso e limitato è mappato in un (intervallo) chiuso e limitato.

Grazie!
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Messaggio da Ani-sama » 06 nov 2009, 15:13

SkZ ha scritto:[...] i corsi di Analisi erano belli pengi e completi (ora fanno orrore). quando ancora "Analisi 2" DeMarco era in 2 volumi :roll:
Mah, io ho fatto corsi di Analisi (introduttiva) tre anni fa a Pavia (con il prof. Gilardi, per la cronaca) e non mi sono sembrati "corsi da orrore". Secondo me è sbagliato criticare il nuovo ordinamento banalmente sul presupposto "eh, ai miei tempi...". Credo che a rendere un corso buono o cattivo sia fondamentalmente il docente che lo gestisce, piuttosto che il fatto di averlo annuale o semestrale.
SkZ ha scritto:non a tutti i fisici piace la matematica e l'analisi.
Conosco gente bravissima e dottoranda ma che ricorda nulla di analisi.
Io voglio sperare che, al di là del fatto che i contenuti vengono spesso dimenticati (chi si ricorderà la dimostrazione del teorema della funzione implicita dopo due anni, senza riguardarselo?), quello che resta sia piuttosto la "forma mentis" e la padronanza degli strumenti tecnici.

Per quanto riguarda i fisici, poi, la mia impressione è che vengano sostanzialmente "abituati male" dai loro corsi: cioè, anche in un corso di meccanica analitica (che ho avuto modo di seguire) si lavora con derivate e differenziali in una maniera che farebbe senz'altro inorridire qualsivoglia analista! E se meccanica analitica è "fisica matematica", io non oso pensare alle atrocità che si possono raggiungere anche solo nella fisica teorica! :roll:
...

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Messaggio da Kopernik » 06 nov 2009, 15:35

Non ti preoccupare, non mi offendo affatto. Sono perfettamente cosciente che le mie dimostrazioni sono a volte "spicce", come dici tu, ma il problema è ovviamente quale sia l'alternativa. Nel caso delle funzioni continue le possibilità sono le seguenti:
Opzione 0: enunciare il teorema di Weierstrass senza dimostrazione, e tutto il resto è una conseguenza. Così fanno praticamente tutti i testi per il Liceo.
Opzione 1 ("spiccia"): quella che ti ho esposto, e che naturalmente è attaccabile su molti fronti, come fai notare tu: supponiamo che l'immagine di un intervallo siano due intervalli disgiunti e "controlliamo a occhio" che ciò è asssurdo.
Opzione 2 (ragionevole): dimostriamo che una funzione continua mappa intervalli in intervalli. Posto la dimostrazione la posto in un prossimo messaggio.
Opzione 3 (ambiziosa): dimostrazione rigorosa del teorema di Bolzano e del teorema di Weierstrass.
Un insegnante si trova a dover escludere l'opzione 4, e quindi è costretto a scegliere fra le altre 3; a seconda delle classi che ho davanti decido di volta in volta cosa fare. Ti confesso però che non amo l'opzione 0, perché è dogmatica, tuttavia l'ho utilizzata più di una volta di fronte a classi molto modeste che non avrebbero seguito nient'altro.
Per quanto riguarda la dimostrazione che un funzione continua mappa insiemi compatti in compatti che tu mi chiedi, ho solo quella "spiccia": fai un paio di esempi grafici e si "vede".
E' evidente che la mia filosofia è discutibile: sacrifico pesantemente la forma all'intuizione e svolgo dimostrazioni lacunose. Ma l'alternativa "atto di fede" a me sembra molto peggio.
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Messaggio da SkZ » 06 nov 2009, 16:49

Ani-sama, le tue obiezioni confermano le mie osservazioni.
Se Analisi 2 ha un libro di testo ora che e' la meta' di quello che avevo io, vuol dire che pure il programma e' circa dimezzato. E sono dimezzate le possibilita' di approfondimento sul testo.

Di solito i corsi di "Meccanica razionale" et similia una volta erano tenute da Matematici ergo fatte secondo crismi.

Io parlo che molti dimenticano tutta la parte teorica e ricordano solo l'applicazione pratica dei teoremi.
Cose' la topologia, che e' un insieme aperto, un punto di accumulazione, insieme connesso, ...
tutto perso. Sono ben pochi quelli che si "divertono" ad analisi
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