Testi oliforum contest 2009, round 2.

[jordan]

Salve,
in questo thread posterò i testi e i risultati del second round dell'oliforum contest (per il primo potete vedere qui).

Faccio un quasi copia incolla, come sempre

1- Il contest sarà composto da due round, questo è l'ultimo.

2- Ogni round è composto da alcuni problemi dimostrativi, a ognuno dei quali verrà assegnato un punteggio da 0 a 7: 6 per tutte quelle corrette, 7punti a quelle corrette, pulite e originali.

3- E' stato pensato per studenti liceali, o anche universitari o più, a patto che non usino argomenti prettamente non olimpici, che in tal caso invaliderebbero la soluzione.

4- La classifica sarà unica per tutte le soluzioni che perverranno.

5- Il primo round inizia alle ore 15:00 di venerdì 16 ottobre 2009, e termina alle ore 15:00 di domenica 18 : si ha quindi si ha 48 ore di tempo.

6- L'iscrizione non è necessaria, è sufficiente spedire la soluzione.

7- Il tempo di arrivo non sarà preso in considerazione.

8- Modalità di spedizione soluzioni.
- La spedizione degli esercizi svolti va effettuata via email a entrambi gli indirizzi: pao_leo88@hotmail.it e leonettipaolo@gmail.com
- Spedite le soluzioni allegate in un solo file, formato pdf e dimensioni ragionevoli, per ogni persona, ed una sola volta; istruzioni su come usare scrivere in latex e creare un pdf da un file .tex ne trovate nell'apposita sezione di questo forum. (qua viene spiegato come creare file pdf con programmi o direttamente da internet.)
- Usate come nome del file il nome con cui vi siete iscritti al contest, quindi presumibilmente il vostro nick sul forum.
- Non scrivete nient'altro nella email se non è di fondamentale importanza.
- Cercate il più possibile di venire incontro al correttore, scrivendo in modo chiaro e conciso..
- Saranno accettate anche soluzioni inviate per messaggio privato al sottoscritto.

Sotto questo topic, insieme alla lista dei problemi, scriverò i nomi di tutti coloro che hanno inviato correttamente la soluzione.

Per ogni dubbio, non esitate a chiedere su quest'altro thread (per cui evitare di rispondere qui..)


In bocca al lupo

[jordan]

Problema 1.
Trovare tutti i possibili sottoinsiemi non vuoti $ S $ di $ \mathbb{N}:=\{0,1,2,\ldots\} $ tali che $ 0 \in S $ e esistono due funzioni $ h(\cdot):S \times S \to S $ e $ k(\cdot):S \to S $ che verificano:
i) $ k(x)=h(0,x) $ per ogni $ x \in S $
ii) $ k(0)=0 $
iii) $ h(k(x_1),x_2)=x_1 $ per ogni $ x_1,x_2 \in S $.
(Pierfrancesco Carlucci)

Problema 2.
Sia dato un quadrilatero convesso $ ABCD $ tale che $ AB=BC $, $ \angle ABC=80, \angle CDA=50 $. Detto $ E $ il punto medio di $ AC $ mostrare che $ \angle CDE= \angle BDA $
(Paolo Leonetti)

Problema 3.
Trovare tutti gli $ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 $ tali che $ x^3-5x=1728^y\cdot 1733^z-17 $.
(Paolo Leonetti)

Problema 4.
Dati $ a,b,c $ reali positivi, mostrare che $ \displaystyle a+b+c \leq \frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b} +\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right) $
(Darij Grinberg)

Problema 5.
Sia definita la funzione $ g(\cdot):\mathbb{Z} \to \{0,1\} $ di modo tale che $ g(n)=0 $ se $ n<0 $, altrimenti $ g(n)=1 $. Sia definita la funzione $ f(\cdot):\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $ di modo tale che $ f(n)=n-1024g(n-1024) $ per ogni $ n \in \mathbb{Z} $. Definiamo la sequenza degli interi $ \{a_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ di modo tale che $ a_0=1 $ e $ a_{n+1}=2f(a_n)+\ell $, dove $ \ell=0 $ se $ \displaystyle \prod_{i=0}^n{\left(2f(a_n)+1-a_i\right)}= 0 $, e $ \ell=1 $ altrimenti. Quanti elementi distinti ha l'insieme $ S:=\{a_0,a_1,\ldots,a_{2009}\} $?
(Paolo Leonetti)

(Per ogni dubbio chiedete per mp )

[jordan]

Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4
Problema 5

[jordan]

Hanno spedito le soluzioni, che verranno corrette appena possibile :
Ahwingsecretangent
Inequalities Master
NickNafplio
Giuseppe R
mod_2
exodd
Zhero
azjps
Bugi
Palina.41
TBPL
mavropnevma
Ruby5099991
Maioc92
EUCLA
dario2994
shoki
skytin
grfield
kn
elendil (che ha spedito le soluzioni quasi due ore successive all'orario di scadenza )

[jordan]

Ecco a voi il file delle soluzioni

[jordan]

Classifica secondo round:
NickNafplio 7.7.7.6.0
shoki 7.6.7.7.0
TBPL 7.7.7.6.0
mavropnevma 7.7.4.7.1
grfield 7.7.4.6.0
dario2994 7.7.3.6.0
kn 7.7.2.6.0
Zhero 7.6.3.6.0
mod_2 7.0.7.7.0
Maioc92 7.6.2.6.0
azjps 7.7.7.0.0
exodd 7.6.2.6.0
Bugi 7.6.2.0.0
Palina.41 7.7.0.0.0
Inequalities Master 0.7.0.7.0
elendil 7.0.2.0.0
skytin 0.7.0.0.0
Ahwingsecretagent 7.0.0.0.0
GiuseppeR 2.0.2.3.0
Ruby5099991 0.0.0.0.2
EUCLA 0.0.0.0.1



Classifica finale

mavropnevma 28+26______54
TBPL 24+27______________51
NickNafplio 16+27________ 43
azjps 19+21_____________40
exodd 19+21_____________40
Zhero 17+22_____________39
dario2994 13+23_________36
kn 14+22_______________36
Maioc92 14+21___________35
mod_2 13+21____________34
shoki 0+27______________27
Bugi 12+15______________27
grfield 0+24______________24
Palina.41 7+14 ___________21
Inequalities Master 0+14 ___14
Ahwingsecretagent 7+7 ____14
elendil 0+9_______________9
GiuseppeR 1+7____________8
skytin 0+7________________7
geda 7+0_________________7
String 7+0________________7
Ruby5099991 0+2 _________2
EUCLA 0+1_______________1