Buongiorno,
come l'anno passato, allego di sotto le regole per partecipare al contest online che avrà inizio domani pomeriggio:
1- Il contest sarà composto da due round.
2- Ogni round è composto da alcuni problemi dimostrativi, a ognuno dei quali verrà assegnato un punteggio da 0 a 7: 6 per tutte quelle corrette, 7punti a quelle corrette, pulite e originali.
3- E' stato pensato per studenti liceali, o anche universitari o più, a patto che non usino argomenti prettamente non olimpici, che in tal caso invaliderebbero la soluzione.
4- La classifica sarà unica per tutte le soluzioni che perverranno.
5- Il primo round inizia alle ore 17:00 di lunedì 28 settembre 2009, e termina alle ore 17:00 di mercoledì 30 : hai quindi si ha 48 ore di tempo.
6- L'iscrizione non è necessaria, è sufficiente spedire la soluzione.
7- Il tempo di arrivo non sarà preso in considerazione.
8- Modalità di spedizione soluzioni.
- La spedizione degli esercizi svolti va effettuata via email a entrambi gli indirizzi: pao_leo88@hotmail.it e leonettipaolo@gmail.com
- Spedite le soluzioni allegate in un solo file, formato pdf e dimensioni ragionevoli, per ogni persona, ed una sola volta; istruzioni su come usare scrivere in latex e creare un pdf da un file .tex ne trovate nell'apposita sezione di questo forum. (qua viene spiegato come creare file pdf con programmi o direttamente da internet.)
- Usate come nome del file il nome con cui vi siete iscritti al contest, quindi presumibilmente il vostro nick sul forum.
- Non scrivete nient'altro nella email se non è di fondamentale importanza.
- Cercate il più possibile di venire incontro al correttore, scrivendo in modo chiaro e conciso..
- Saranno accettate anche soluzioni inviate per messaggio privato al sottoscritto.
Sotto questo topic, insieme alla lista dei problemi, scriverò i nomi di tutti coloro che hanno inviato correttamente la soluzione.
Per ogni dubbio, non esitate a chiedere su quest'altro thread (per cui evitare di rispondere qui..)
Grazie dell'attenzione
Testi Oliforum contest 2009. Round 1.
Testi Oliforum contest 2009. Round 1.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Problema 1
Sia $ \sigma(\cdot): \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 $ la funzione che associa a ogni $ n \in \mathbb{N} $ la somma dei suoi divisori $ \sum_{d \mid n}{d} $ (ad esempio $ \sigma(6)=6+3+2+1 $ e $ \sigma(8)=8+4+2+1 $).
Trovare tutti i primi $ p \in \mathbb{P} $ tali che $ p \mid \sigma(p-1) $.
(Salvatore Tringali)
Problema 2
Sia $ \phi $ la radice reale positiva di $ x^2-x-1 $ e siano $ a,b,c,d $ dei reali positivi tali che $ (a+2b)^2=4c^2+1 $.
Mostrare che $ \displaystyle 2d^2+a^2\left(\phi-\frac{1}{2}\right)+b^2\left(\frac{1}{\phi-1}+2\right)+2 \ge 4(c-d)+2\sqrt{d^2+2d} $ e trovare tutti i casi di uguaglianza.
(A.Naskov)
Problema 3
Preso un quadrilatero ciclico $ ABCD $ sia $ E $ l'intersezione di $ AC $ con $ BD $ e sia $ \Gamma $ una circonferenza tangente internamente all'arco $ BC $ (non contenente $ D $) in $ T $ e tangente a $ BE $ e $ CE $. Chiamiamo $ R $ il punto di incontro della bisettrice di $ \angle ABC $ con la bisettrice di $ \angle BCD $ e $ S $ l'incentro di $ BCE $. Dimostrare che $ R $, $ S $ e $ T $ sono allineati.
(Gabriel Giorgieri)
Problema 4
Sia $ m $ un intero positivo e $ p $ un numero primo, entrambi fissati. Sia $ S $ l'insieme di tutte le $ m $-uple di interi positivi $ \vec{v}=(v_1,v_2,\ldots,v_m) $ tali che $ 1 \le v_i \le p $ per ogni $ 1 \le i \le m $. Definiamo inoltre la funzione $ f(\cdot):\mathbb{N}^m \to \mathbb{N} $, che associa a ogni $ m $-upla di interi non negativi $ (a_1,a_2,\ldots,a_m) $ l'intero $ \displaystyle f(a_1,a_2,\ldots,a_m)=\sum_{\vec{v} \in S} \left(\prod_{1 \le i \le m}{v_i^{a_i}} \right) $. Trovare tutte le $ m $-uple di interi non negativi $ (a_1,a_2,\ldots,a_m) $ tali che $ p \mid f(a_1,a_2,\ldots,a_m) $.
(Pierfrancesco Carlucci)
Problema 5
Sia $ X:=\{x_1,x_2,\ldots,x_{29}\} $ un insieme di $ 29 $ ragazzi, che si sfidano ad un torneo di Pro Evolution Soccer 2009, rispettando le seguenti regole:
Mostrare che per qualche intero positivo $ k \le 29 $ esiste un insieme di ragazzi $ \{x_{t_1},x_{t_2},\ldots,x_{t_k}\} \subseteq X $ tali che, per ogni scelta dell’intero positivo $ i \le 29 $, il ragazzo $ x_i $ guadagna un numero intero di punti nel totale delle partite $ \{(x_i \text{ Vs } x_{t_1}),(x_i \text{ Vs } x_{t_2}),\ldots, (x_i \text{ Vs } x_{t_k})\} $.
(Paolo Leonetti)
In bocca al lupo!
Per ogni chiarimento non esitate a chiedere in mp.
Sia $ \sigma(\cdot): \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 $ la funzione che associa a ogni $ n \in \mathbb{N} $ la somma dei suoi divisori $ \sum_{d \mid n}{d} $ (ad esempio $ \sigma(6)=6+3+2+1 $ e $ \sigma(8)=8+4+2+1 $).
Trovare tutti i primi $ p \in \mathbb{P} $ tali che $ p \mid \sigma(p-1) $.
(Salvatore Tringali)
Problema 2
Sia $ \phi $ la radice reale positiva di $ x^2-x-1 $ e siano $ a,b,c,d $ dei reali positivi tali che $ (a+2b)^2=4c^2+1 $.
Mostrare che $ \displaystyle 2d^2+a^2\left(\phi-\frac{1}{2}\right)+b^2\left(\frac{1}{\phi-1}+2\right)+2 \ge 4(c-d)+2\sqrt{d^2+2d} $ e trovare tutti i casi di uguaglianza.
(A.Naskov)
Problema 3
Preso un quadrilatero ciclico $ ABCD $ sia $ E $ l'intersezione di $ AC $ con $ BD $ e sia $ \Gamma $ una circonferenza tangente internamente all'arco $ BC $ (non contenente $ D $) in $ T $ e tangente a $ BE $ e $ CE $. Chiamiamo $ R $ il punto di incontro della bisettrice di $ \angle ABC $ con la bisettrice di $ \angle BCD $ e $ S $ l'incentro di $ BCE $. Dimostrare che $ R $, $ S $ e $ T $ sono allineati.
(Gabriel Giorgieri)
Problema 4
Sia $ m $ un intero positivo e $ p $ un numero primo, entrambi fissati. Sia $ S $ l'insieme di tutte le $ m $-uple di interi positivi $ \vec{v}=(v_1,v_2,\ldots,v_m) $ tali che $ 1 \le v_i \le p $ per ogni $ 1 \le i \le m $. Definiamo inoltre la funzione $ f(\cdot):\mathbb{N}^m \to \mathbb{N} $, che associa a ogni $ m $-upla di interi non negativi $ (a_1,a_2,\ldots,a_m) $ l'intero $ \displaystyle f(a_1,a_2,\ldots,a_m)=\sum_{\vec{v} \in S} \left(\prod_{1 \le i \le m}{v_i^{a_i}} \right) $. Trovare tutte le $ m $-uple di interi non negativi $ (a_1,a_2,\ldots,a_m) $ tali che $ p \mid f(a_1,a_2,\ldots,a_m) $.
(Pierfrancesco Carlucci)
Problema 5
Sia $ X:=\{x_1,x_2,\ldots,x_{29}\} $ un insieme di $ 29 $ ragazzi, che si sfidano ad un torneo di Pro Evolution Soccer 2009, rispettando le seguenti regole:
- i) ogni ragazzo gioca una e una sola volta contro tutti gli altri (possiamo quindi assumere che ogni partita ha la forma $ (x_i \text{ Vs } x_j) $ per qualche $ i \neq j $);
ii) se la partita $ (x_i \text{ Vs } x_j) $, con $ i \neq j $, termina con la vittoria del ragazzo $ x_i $, allora quest’ultimo guadagna $ 1 $ punto, mentre l’altro non guadagna alcun punto;
iii) se la partita $ (x_i \text{ Vs } x_j) $, con $ i \neq j $, termina con un pareggio allora viene assegnato $ \frac{1}{2} $ punto a ciascuno dei due ragazzi.
Mostrare che per qualche intero positivo $ k \le 29 $ esiste un insieme di ragazzi $ \{x_{t_1},x_{t_2},\ldots,x_{t_k}\} \subseteq X $ tali che, per ogni scelta dell’intero positivo $ i \le 29 $, il ragazzo $ x_i $ guadagna un numero intero di punti nel totale delle partite $ \{(x_i \text{ Vs } x_{t_1}),(x_i \text{ Vs } x_{t_2}),\ldots, (x_i \text{ Vs } x_{t_k})\} $.
(Paolo Leonetti)
In bocca al lupo!
Per ogni chiarimento non esitate a chiedere in mp.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ho ricevuto soluzioni da: Ahwingsecretagent, NickNafplio, Zhero, Bugi, azjps, Palina.41, mavropnevma, geda, mod_2, TBPL, dario2994, exodd, Giuseppe_R, kn, Maioc92, String. Se qualcuno avesse spedito le soluzioni e non si trova in questa lista, lo faccia presente..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ok gente, ecco i risultati del primo round
mavropnevma- 7/7/0/7/7
TBPL- 7/7/0/3/7
exodd- 7/7/0/5/0
azjps- 7/5/0/7/0
Zhero- 7/3/0/7/0
NickNapflio- 7/7/0/2/0
Maioc92- 7/7/0/0/0
kn- 7/0/0/7/0
dario2994- 2/4/0/7/0
mod_2- 7/1/0/5/0
Bugi- 6/6/0/0/0
String- 7/0/0/0/0
Palina.41- 7/0/0/0/0
geda- 7/0/0/0/0
Ahwingsecretagent- 7/0/0/0/0
Giuseppe_R-1/0/0/0/0
Per ogni chiarimento sui punteggi contattemi per mp
mavropnevma- 7/7/0/7/7
TBPL- 7/7/0/3/7
exodd- 7/7/0/5/0
azjps- 7/5/0/7/0
Zhero- 7/3/0/7/0
NickNapflio- 7/7/0/2/0
Maioc92- 7/7/0/0/0
kn- 7/0/0/7/0
dario2994- 2/4/0/7/0
mod_2- 7/1/0/5/0
Bugi- 6/6/0/0/0
String- 7/0/0/0/0
Palina.41- 7/0/0/0/0
geda- 7/0/0/0/0
Ahwingsecretagent- 7/0/0/0/0
Giuseppe_R-1/0/0/0/0
Per ogni chiarimento sui punteggi contattemi per mp
The only goal of science is the honor of the human spirit.