dando ormai per assodato che la sommatoria di 1/n diverge e 1/n^2 converge, e che quindi la somma di 1/n^k con k>2 converge sempre a limiti sempre piu piccoli (tendenti a uno) volevo sapere se esiste un metodo per trovare tali limiti per ogni k naturale...
ps nn sapevo dove postarlo..
somma di potenze dei reciproci dei naturali
somma di potenze dei reciproci dei naturali
The only goal of science is the honor of the human spirit.
purtroppo, per quanto ne so io, nessuno e' ancora riuscito a calcolare il valore di:
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^3}} $
Quindi nn esiste un metodo generale, ma esistono molti casi particolari, come ad esempio quando l'esponente e' pari esiste un metodo particolare dato da eulero ( che io nn conosco) che da ( per esempio ):
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^6}} = \frac{\pi^6}{960} $
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^3}} $
Quindi nn esiste un metodo generale, ma esistono molti casi particolari, come ad esempio quando l'esponente e' pari esiste un metodo particolare dato da eulero ( che io nn conosco) che da ( per esempio ):
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^6}} = \frac{\pi^6}{960} $
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- Nonno Bassotto
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Non conosco la dimostrazione con molti dubbi di Eulero, ma il calcolo per di quella sommatoria quando l'esponente è 2n si può fare sviluppando in serie di Fourier la funzione x^n su [0,1] e applicando l'dentità di Parseval.
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x nonno bassotto nella prima parte cè la dimostrazione che dicevo io..
http://alpha01.dm.unito.it/personalpage ... le-06.html
puoi indicarmi quella tua?sono curioso..grazie
http://alpha01.dm.unito.it/personalpage ... le-06.html
puoi indicarmi quella tua?sono curioso..grazie
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Beh, è il metodo standard:
considera la funzione $ f(x)=x $ (per le somme di quadrati) e sviluppala in fourier in $ [-\pi,\pi] $; avrai
$ x=a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) $
e $ \int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\pi(a_0^2/2+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)) $ per il teorema di parseval.
Ma
$ a_n=0 $ e $ b_n=(-1)^{n+1}\dfrac{2}{n} $, da cui
$ \dfrac{2\pi^3}{3}=\pi\sum_{n=1}^\infty\dfrac{4}{n^2} $
ovvero
$ \dfrac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2} $
Per somme di potenze 2n-esime, basta usare x^n.
considera la funzione $ f(x)=x $ (per le somme di quadrati) e sviluppala in fourier in $ [-\pi,\pi] $; avrai
$ x=a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) $
e $ \int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\pi(a_0^2/2+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)) $ per il teorema di parseval.
Ma
$ a_n=0 $ e $ b_n=(-1)^{n+1}\dfrac{2}{n} $, da cui
$ \dfrac{2\pi^3}{3}=\pi\sum_{n=1}^\infty\dfrac{4}{n^2} $
ovvero
$ \dfrac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2} $
Per somme di potenze 2n-esime, basta usare x^n.