somma di potenze dei reciproci dei naturali

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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jordan
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somma di potenze dei reciproci dei naturali

Messaggio da jordan » 06 nov 2007, 23:53

dando ormai per assodato che la sommatoria di 1/n diverge e 1/n^2 converge, e che quindi la somma di 1/n^k con k>2 converge sempre a limiti sempre piu piccoli (tendenti a uno) volevo sapere se esiste un metodo per trovare tali limiti per ogni k naturale...

ps nn sapevo dove postarlo..
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Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 07 nov 2007, 08:59

purtroppo, per quanto ne so io, nessuno e' ancora riuscito a calcolare il valore di:

$ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^3}} $

Quindi nn esiste un metodo generale, ma esistono molti casi particolari, come ad esempio quando l'esponente e' pari esiste un metodo particolare dato da eulero ( che io nn conosco) che da ( per esempio ):

$ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^6}} = \frac{\pi^6}{960} $
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jordan
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Messaggio da jordan » 07 nov 2007, 09:41

mmm, jacobi, la dimostrazione di eulero (quella conmolti dubbi tipo le "infiniteradici") la conosco anch'io..nn sapevo xo ke funzionasse per tutti i k pari, grazie della risp cmq..
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Messaggio da Nonno Bassotto » 07 nov 2007, 10:54

Non conosco la dimostrazione con molti dubbi di Eulero, ma il calcolo per di quella sommatoria quando l'esponente è 2n si può fare sviluppando in serie di Fourier la funzione x^n su [0,1] e applicando l'dentità di Parseval.
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jordan
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Messaggio da jordan » 07 nov 2007, 11:49

x nonno bassotto nella prima parte cè la dimostrazione che dicevo io..
http://alpha01.dm.unito.it/personalpage ... le-06.html
puoi indicarmi quella tua?sono curioso..grazie
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Messaggio da EvaristeG » 08 nov 2007, 10:11

Beh, è il metodo standard:
considera la funzione $ f(x)=x $ (per le somme di quadrati) e sviluppala in fourier in $ [-\pi,\pi] $; avrai
$ x=a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) $
e $ \int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\pi(a_0^2/2+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)) $ per il teorema di parseval.
Ma
$ a_n=0 $ e $ b_n=(-1)^{n+1}\dfrac{2}{n} $, da cui
$ \dfrac{2\pi^3}{3}=\pi\sum_{n=1}^\infty\dfrac{4}{n^2} $
ovvero
$ \dfrac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2} $

Per somme di potenze 2n-esime, basta usare x^n.

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jordan
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Messaggio da jordan » 08 nov 2007, 10:59

ieri ho rovato su delle fotocopie che avevo rilegato molto tempo fa che non si è riusciti a definire la somma di 1/n^(2k+3) per ogni k in N se non con notevoli aprrossimazioni, confermate?
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