OliForum Matematico

Riassumendo (e dimmi se sbaglio), nella mia dimostrazione io ho già presa per buona l'ipotesi che (-a) sia unico, e poi ho dimostrato che tutti gli inversi di a sono uguali a lui. Ma se (-a) non è unico allora mi crolla tutto il palco...

Dunque prima dobbiamo dimostrare che due inversi di a sono necessariamente uguali, poi deduciamo l'unicità dell'inverso di a e lo battezziamo (-a).....
Ok?

sì, cioè, no. Vediamo un po'.

-a è un simbolo che fin quando non lo definiamo non vuol dire nulla.
La definizione che avevamo dato di -a presupponeva già l'unicità dell'inverso.
Nella dimostrazione dell'unicità dell'inverso quindi non puoi adoperare il simbolo -a perché in quel momento non è stato ancora definito. È questo il problema con la tua dimostrazione.


Un'altra possibilità, usando una definizione di -a diversa, è la seguente:
Definisco -a prima di dimostrare l'unicità dell'inverso, come un inverso FISSATO di a (uno qualunque, purché sia fissato una volta per tutte).
Ora posso adoperare il simbolo -a nella dimostrazione dell'unicità, perché l'ho già definito, e posso dimostrare che ogni altro inverso è uguale a lui.

Le cose importanti sono: che non posso usare un simbolo prima di averlo definito, e che -a è un elemento, non un insieme.

Dire " (-a) non è unico " è sbagliato perché -a è un simbolo che rappresenta un singolo e ben preciso elemento.

Ok?

Si! Tutto ok!
Quando dicevo che (-a) non è unico intendevo che l'inverso di a non è unico: scusa l'imprecisione.
Prima dimostriamo l'unicità dell' inverso, poi lo chiamiamo (-a)

Comunque queste cose non si studiano alle superiori...o almeno non ho mai sentito di nessun insegnante che le proponga...

Russell ha scritto: Comunque queste cose non si studiano alle superiori...o almeno non ho mai sentito di nessun insegnante che le proponga...

una grande perdita no?

Forse ho capito male oppure le cose da 60 anni fa a oggi sono un po' cambiate, ma leggendo "Che cos' è la matematica" (Libro Meraviglioso lo consiglio a tutti ) c' era una parte che trattava la regola dei segni...e si diceva che nemmeno il grande Eulero riusci' a dare una dimostrazione soddisfacente della regola dei segni, semplicemente perchè essa è un invenzione fatta per mantenere valida la proprietà distributiva; infatti essa dice che:
$ a(b+c)=ab+ac $
se si decidesse che $ (-1)(-1)=-1 $ allora ponendo $ a=-1 $,$ b=1 $,$ c=-1 $, si avrebbe:
$ -1(1-1)=-1-1=-2 $ mentre d' altra parte si ha:
$ -1(1-1)=(-1)0=0 $
Questa regola e altre sono state create per avere libertà nelle operazioni e mantenere le proprietà fondamentali dell' aritmetica. Ciò che deve essere dimostrato è che sulla base di queste definizioni si mantengono le proprietà commutativa, associativa, distributiva.
(*scopiazzato dal libro* Pag 97 [Capitolo 2 §1])

Non ho sottomano il mio "Che cos'è la matematica" (mi unisco a Gufus consigliandolo a tutti) ma penso di aver capito cosa ti turba.

In questo thread si è dimostrato il seguente teorema:
In un anello valgono le uguaglianze (-a)*b=a*(-b)=-(a*b) e (-a)*(-b)=a*b
Abbiamo discusso della dimostrazione sopra, e puoi verificare che è tutto in ordine.


Quello di cui parli tu invece (almeno credo, correggimi se sbaglio) è l'estensione della moltiplicazione da N a Z, cioè:
Abbiamo N, che ha un'addizione ed una moltiplicazione
Abbiamo inventato i numeri negativi e sappiamo come sommarli, ma non sappiamo come moltiplicarli.
Come possiamo definire la moltiplicazione per un numero negativo in modo da mantenere la proprietà distributiva che valeva in N?
Poniamo 1*-1=-1*1=-1 e -1*-1=1 e verifichiamo che tutte le proprietà funzionano ancora.
Vittoria!

Nota bene che non avremmo potuto applicare il teorema di cui sopra per dimostrare la nostra scelta, perché non esiste alcun anello a cui applicarlo. Il nostro teorema ci dice che se c'è una struttura di anello, allora necessariamente -1*-1=1 e quindi la nostra scelta era obbligata, ma dobbiamo comunque verificare che questa convenzione porti davvero ad una struttura di anello e non a qualche altra contraddizione.

In pratica, se sai che Z è un anello, puoi dimostrare che -1*-1=1; se non lo sai ancora e lo stai costruendo, e devi definire la moltiplicazione, puoi dimostrare che quella è l'unica convenzione possibile ma devi comunque verificare che funzioni e che tutte le proprietà vengano rispettate.

Era questo il tuo dubbio?

Uhm ...devo andare a vedere la definizione di anello!

Quello di cui parli tu invece (almeno credo, correggimi se sbaglio) è l'estensione della moltiplicazione da N a Z, cioè:
Abbiamo N, che ha un'addizione ed una moltiplicazione

No no hai ragione!
Sono io che non avevo capito il problema iniziale...
Grazie per la dritta

non so' se è già stata riportata ma una dimostrazione può essere questa:

abbiamo che $ \displaystyle \left ( \mathbb{R} , + , \cdot \right ) $ è campo per le proprietà già dette.

può essere utile dimostrare che $ 0 \cdot a = a \cdot 0 = 0 $ per farlo prendiamo

$ 0 + 0 = 0 \ \Longleftrightarrow \ a \cdot (0+0) = a \cdot 0 \ \Longleftrightarrow \ a \cdot 0 = 0 $ e ugualmente se moltiplichiamo a a destra

$ a + (-a) = 0 \ \Longleftrightarrow \ b \cdot (a + (-a)) = b \cdot 0 \ \Longleftrightarrow \ b \cdot a + b \cdot (-a) = 0 $ quindi $ b \cdot (-a) $ è l'opposto di $ b \cdot a $ e quindi è uguale a $ -(ba) $ e ugualmente $ (-a) \cdot b = - (ba) $ se moltiplichiamo a destra per b anzi che a sinistra.

$ a + (-a) = 0 \ \Longleftrightarrow \ (-b) \cdot (a + (-a)) = $$ (-b) \cdot 0 \ \Longleftrightarrow \ (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-a) = $$ 0 \ \Longleftrightarrow \ -(b \cdot a) + (-b) \cdot (-a) = 0 $ quindi $ (-b) \cdot (-a) $ è l'opposto di $ -(b \cdot a) $ e quindi è uguale a $ ab $

Però che brutti quei $ ~ \Leftrightarrow $

Grazie del contributo Gabriel.......

Avevo aperto il topic la scorsa estate (Quinta liceo)...
Sono stato felicissmo che all'università mi abbiano chiarito subito e bene queste cose: sono interessantissime, oltre che fondamentali per muoversi in matematica!