Regola dei segni

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Russell
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Messaggio da Russell » 29 ago 2007, 20:27

Riassumendo (e dimmi se sbaglio), nella mia dimostrazione io ho già presa per buona l'ipotesi che (-a) sia unico, e poi ho dimostrato che tutti gli inversi di a sono uguali a lui. Ma se (-a) non è unico allora mi crolla tutto il palco...

Dunque prima dobbiamo dimostrare che due inversi di a sono necessariamente uguali, poi deduciamo l'unicità dell'inverso di a e lo battezziamo (-a).....
Ok?
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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 29 ago 2007, 20:46

sì, cioè, no. Vediamo un po'.

-a è un simbolo che fin quando non lo definiamo non vuol dire nulla.
La definizione che avevamo dato di -a presupponeva già l'unicità dell'inverso.
Nella dimostrazione dell'unicità dell'inverso quindi non puoi adoperare il simbolo -a perché in quel momento non è stato ancora definito. È questo il problema con la tua dimostrazione.


Un'altra possibilità, usando una definizione di -a diversa, è la seguente:
Definisco -a prima di dimostrare l'unicità dell'inverso, come un inverso FISSATO di a (uno qualunque, purché sia fissato una volta per tutte).
Ora posso adoperare il simbolo -a nella dimostrazione dell'unicità, perché l'ho già definito, e posso dimostrare che ogni altro inverso è uguale a lui.

Le cose importanti sono: che non posso usare un simbolo prima di averlo definito, e che -a è un elemento, non un insieme.

Dire " (-a) non è unico " è sbagliato perché -a è un simbolo che rappresenta un singolo e ben preciso elemento.

Ok?
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Russell
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Messaggio da Russell » 29 ago 2007, 20:53

Si! Tutto ok!
Quando dicevo che (-a) non è unico intendevo che l'inverso di a non è unico: scusa l'imprecisione.
Prima dimostriamo l'unicità dell' inverso, poi lo chiamiamo (-a)

Comunque queste cose non si studiano alle superiori...o almeno non ho mai sentito di nessun insegnante che le proponga...
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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 29 ago 2007, 20:58

Russell ha scritto: Comunque queste cose non si studiano alle superiori...o almeno non ho mai sentito di nessun insegnante che le proponga...
una grande perdita no?
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Gufus
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Messaggio da Gufus » 30 ago 2007, 00:47

Forse ho capito male :? oppure le cose da 60 anni fa a oggi sono un po' cambiate, ma leggendo "Che cos' è la matematica" (Libro Meraviglioso lo consiglio a tutti :wink: ) c' era una parte che trattava la regola dei segni...e si diceva che nemmeno il grande Eulero riusci' a dare una dimostrazione soddisfacente della regola dei segni, semplicemente perchè essa è un invenzione fatta per mantenere valida la proprietà distributiva; infatti essa dice che:
$ a(b+c)=ab+ac $
se si decidesse che $ (-1)(-1)=-1 $ allora ponendo $ a=-1 $,$ b=1 $,$ c=-1 $, si avrebbe:
$ -1(1-1)=-1-1=-2 $ mentre d' altra parte si ha:
$ -1(1-1)=(-1)0=0 $
Questa regola e altre sono state create per avere libertà nelle operazioni e mantenere le proprietà fondamentali dell' aritmetica. Ciò che deve essere dimostrato è che sulla base di queste definizioni si mantengono le proprietà commutativa, associativa, distributiva.
(*scopiazzato dal libro* Pag 97 [Capitolo 2 §1])
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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 30 ago 2007, 01:27

Non ho sottomano il mio "Che cos'è la matematica" (mi unisco a Gufus consigliandolo a tutti) ma penso di aver capito cosa ti turba.

In questo thread si è dimostrato il seguente teorema:
In un anello valgono le uguaglianze (-a)*b=a*(-b)=-(a*b) e (-a)*(-b)=a*b
Abbiamo discusso della dimostrazione sopra, e puoi verificare che è tutto in ordine.


Quello di cui parli tu invece (almeno credo, correggimi se sbaglio) è l'estensione della moltiplicazione da N a Z, cioè:
Abbiamo N, che ha un'addizione ed una moltiplicazione
Abbiamo inventato i numeri negativi e sappiamo come sommarli, ma non sappiamo come moltiplicarli.
Come possiamo definire la moltiplicazione per un numero negativo in modo da mantenere la proprietà distributiva che valeva in N?
Poniamo 1*-1=-1*1=-1 e -1*-1=1 e verifichiamo che tutte le proprietà funzionano ancora.
Vittoria!

Nota bene che non avremmo potuto applicare il teorema di cui sopra per dimostrare la nostra scelta, perché non esiste alcun anello a cui applicarlo. Il nostro teorema ci dice che se c'è una struttura di anello, allora necessariamente -1*-1=1 e quindi la nostra scelta era obbligata, ma dobbiamo comunque verificare che questa convenzione porti davvero ad una struttura di anello e non a qualche altra contraddizione.

In pratica, se sai che Z è un anello, puoi dimostrare che -1*-1=1; se non lo sai ancora e lo stai costruendo, e devi definire la moltiplicazione, puoi dimostrare che quella è l'unica convenzione possibile ma devi comunque verificare che funzioni e che tutte le proprietà vengano rispettate.

Era questo il tuo dubbio?
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Gufus
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Messaggio da Gufus » 30 ago 2007, 09:00

Uhm :? ...devo andare a vedere la definizione di anello!
Quello di cui parli tu invece (almeno credo, correggimi se sbaglio) è l'estensione della moltiplicazione da N a Z, cioè:
Abbiamo N, che ha un'addizione ed una moltiplicazione
No no hai ragione!
Sono io che non avevo capito il problema iniziale...
Grazie per la dritta :D
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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 09 feb 2008, 14:12

non so' se è già stata riportata ma una dimostrazione può essere questa:

abbiamo che $ \displaystyle \left ( \mathbb{R} , + , \cdot \right ) $ è campo per le proprietà già dette.

può essere utile dimostrare che $ 0 \cdot a = a \cdot 0 = 0 $ per farlo prendiamo

$ 0 + 0 = 0 \ \Longleftrightarrow \ a \cdot (0+0) = a \cdot 0 \ \Longleftrightarrow \ a \cdot 0 = 0 $ e ugualmente se moltiplichiamo a a destra

$ a + (-a) = 0 \ \Longleftrightarrow \ b \cdot (a + (-a)) = b \cdot 0 \ \Longleftrightarrow \ b \cdot a + b \cdot (-a) = 0 $ quindi $ b \cdot (-a) $ è l'opposto di $ b \cdot a $ e quindi è uguale a $ -(ba) $ e ugualmente $ (-a) \cdot b = - (ba) $ se moltiplichiamo a destra per b anzi che a sinistra.

$ a + (-a) = 0 \ \Longleftrightarrow \ (-b) \cdot (a + (-a)) = $$ (-b) \cdot 0 \ \Longleftrightarrow \ (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-a) = $$ 0 \ \Longleftrightarrow \ -(b \cdot a) + (-b) \cdot (-a) = 0 $ quindi $ (-b) \cdot (-a) $ è l'opposto di $ -(b \cdot a) $ e quindi è uguale a $ ab $

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Messaggio da edriv » 09 feb 2008, 14:16

Però che brutti quei $ ~ \Leftrightarrow $ :?

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Messaggio da Russell » 09 feb 2008, 14:20

Grazie del contributo Gabriel.......

Avevo aperto il topic la scorsa estate (Quinta liceo)...
Sono stato felicissmo che all'università mi abbiano chiarito subito e bene queste cose: sono interessantissime, oltre che fondamentali per muoversi in matematica!
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