Binomiali

[cippo90]

Ciao...
Cosa vuole dire $ $\binom{n}{m}$ $ in combinatoria?

[enomis_costa88]

Spero nessuno ne abbia a male se provo a dare una timida risposta.

Definisco come il fattoriale di n (se $ n\ge 1 $ ) (indico n!) il prodotto di tutti gli interi da 1 a n. Pertanto:
$ n!=n*(n-1)*..2*1 $
Per convenzione $ 0!=1 $

Si chiama binomiale il numero:
$ \displaystyle {n \choose h} =\frac{n!}{h!(n-h)!}=\frac{n(n-1)\dots (n-h+1)}{h!} $
Tale numero, che è sempre un'intero si legge "n su h".

Sono ben note le seguenti proprietà:

1) $ { n\choose h}={n\choose n-h} $

2) $ {n\choose h} +{n\choose h+1}={n+1\choose h+1} $

3)(binomio di Newton) $ (x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^i y^{n-i} $

in particolare dalla 3:
4) $ \sum_{i=0}^{n}{n\choose i}=2^n $

5) $ \sum_{i=0}^{n}{n\choose i}(-1)^{i} $ = 0

6) I coefficenti binomiali $ n\choose h $ con h=0,1,..,n sono quelli che occupano la n-esima riga del triangolo di tartaglia.

7) (importantissimo) il numero di sottinsiemi di k elementi di un'insieme di n elementi (con $ n\ge k $) è $ n \choose k $.

Spero sia tutto chiaro, Simone.