Rotazioni

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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desko
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Rotazioni

Messaggio da desko » 26 apr 2006, 08:34

Mi chiedevo quale sia l'equazione di una generica equazione.
Tutte le formule che ho trovato riguardano la rotazione attorno all'origine del sistema di riferimento, ma la rotazione attorno ad un punto generico?
Ho pensato che si potrebbe comporre una traslazione per portare il centro di rotazione con l'origine, la rotazione canonica dello stesso angolo e la traslazione opposta, ma non ho trovato conferme da nessuna parte.
Esiste qualcosa di più decente?
Grazie

PS: mi riferisco sia al caso 2D che al caso 3D
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 26 apr 2006, 09:40

Beh, nel caso 2D ti puoi aiutare con i numeri complessi :
sia $ \omega $ di norma 1; allora $ z\mapsto\omega z $ è una rotazione attorno all'origine. Se la vuoi attorno al punto $ z_0 $ ti basta scrivere $ z\mapsto (z-z_0)\omgea + z_0 $.
Quindi $ z\mapsto\omega z+z_0(1-\omega) $

Se ora poni $ \omega=\cos\theta+i\sin\theta $ e $ z_0=a+ib $, otterrai
$ x+iy\mapsto x\cos\theta-y\sin\theta+ i(x\sin\theta+y\cos\theta) $$ + a(1-\cos\theta)-b\sin\theta+i(a\sin\theta+b(1-\cos\theta)) $
dunque
$ \left\{\begin{array}{lll}x'&=&x\cos\theta-y\sin\theta+a(1-\cos\theta)-b\sin\theta\\ y'&=&x\sin\theta+y\cos\theta+a\sin\theta+b(1-\cos\theta)\end{array}\right. $

Nel caso 3D, mi sa che è meglio usare le matrici.

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