omogenee e x+y+z=1

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Martin
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omogenee e x+y+z=1

Messaggio da Martin » 23 apr 2006, 20:25

Qualcuno sa spiegarmi cosa legittima porre x + y + z = 1
come ha fatto simo qui
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=4495
?
Grazie

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 24 apr 2006, 02:49

Beh, il motivo è il seguente :
considera le due terne $ (a,b,c) $ e $ (ka,kb,kc) $ con k non nullo e sostituiscile ad x,y,z; otterrai
$ $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ $
e
$ $\sqrt{\frac{ka}{kb+kc}}+\sqrt{\frac{kb}{ka+kc}}+\sqrt{\frac{kc}{ka+kb}}$ $

Ovvero, a meno di raccogliere e semplificare la seconda espressione, si ottiene la stessa cosa.

Questo si può esprimere dicendo che la disequazione
$ $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq C$ $
(minore o maggiore, è uguale) con C costante, è omogenea.

Il fatto che le terne (a,b,c) e (ka,kb,kc) diano lo stesso valore, quando sostituite a (x,y,z), ci fa capire che importano solo le proporzioni in cui essi stanno e non il loro effettivo valore assoluto; quindi, possiamo ad esempio scegliere k=1/a e verificare la disuguaglianza solo per terne del tipo (1,u,v), oppure possiamo fissare x+y+z=1, che è come dire c=1-a-b, ovvero fissare $ $k=\frac{1-a-b}{c}$ $.
Se infatti è vera sotto la condizione $ x+y+z=1 $, per omogeneità sarà anche vera sotto ogni condizione del tipo $ x+y+z=h $ con qualunque h reale (basta porre k=h e moltiplicare le terne che soddisfano x+y+z=1 per tale k) e quindi sarà vera per ogni terna.

Chiaro?

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Martin
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Messaggio da Martin » 24 apr 2006, 11:21

Quasi tutto chiaro...l'unica cosa che mi sfugge è il capire quando è omogenea....si intende semplicemente quando "contano" solo i rapporti?

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 24 apr 2006, 16:15

Quando tutti i termini sono allo stesso grado da entrambi i membri della diseguaglianza.
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Messaggio da fph » 24 apr 2006, 17:43

Sisifo ha scritto:Quando tutti i termini sono allo stesso grado da entrambi i membri della diseguaglianza.
O anche: diciamo che una funzione, ad esempio in tre variabili) è omogenea di grado n quando $ f(ka,kb,kc)=k^n f(a,b,c) $ per tutti i $ k $ reali.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Messaggio da Martin » 25 apr 2006, 11:19

tutto chiaro, grazie :)

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Messaggio da hydro » 04 mag 2006, 15:15

fph ha scritto: O anche: diciamo che una funzione, ad esempio in tre variabili) è omogenea di grado n quando $ f(ka,kb,kc)=k^n f(a,b,c) $ per tutti i $ k $ reali.
Cioè, ad esempio $ \displaystyle \sqrt{\frac{1}{b+c}} $ è omogenea di grado $ -\frac{1}{2} $ giusto? ma la funzione nel caso citato prima, $ \displaystyle\sqrt{\frac{a}{b+c}} $ non è omogenea, perchè $ f(ka,kb,kc)\neq k^n f(a,b,c) $ a meno che $ n=0 $, poichè abbiamo visto che $ f(a,b,c)=f(ka,kb,kc) $

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 07 mag 2006, 10:13

Appunto.. perchè n deve essere diverso da 0? Si tratta di una funzione omogenea di grado 0. Qual è il problema?
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