Terema di Minkowski (o teorema del corpo convesso)

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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moebius
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Terema di Minkowski (o teorema del corpo convesso)

Messaggio da moebius » 12 feb 2006, 14:18

Teorema: Ogni sottoinsieme di $ \mathbb{R}^n $ convesso, simmetrico rispetto ad un punto di coordinate intere ed avente "area" maggiore di $ 2^n $, contiene almeno tre punti a coordinate intere.
Dim. Sia $ X\subseteq \mathbb{R}^n $ un insieme che rispetta le ipotesi. Possiamo supporre senza perdere generalità che il punto rispetto a cui l'insieme è simmetrico sia l'origine (che è ovviamente un punto a coordinate intere). Per provare il teorema basterà quindi provare che tale insieme contiene almeno un altro punto a coordinate intere: poichè $ X $ è simmetrico, conterrà allora anche il simmetrico di tale punto rispetto all'origine (che avrà sempre coordinate intere), per un totale di tre punti a coordinate intere.
Per chiarezza espositiva, esplicitiamo la dimostrazione nel caso di $ n=2 $: il caso generale può essere trattato allo stesso modo.
Consideriamo $ \mathbb{R}^2 $ diviso come una scacchiera in cui ogni quadrato ha lato 2, in modo che l'origine sia il centro di simmetria di uno di tali quadrati. Ovviamente $ X $ non può essere contenuto interamente in tale quadrato (avendo area maggiore di 4); immaginiamo adesso di ritagliare dal piano tutti i quadrati che contengono che intersecano $ X $ e di sovrapporli su di un unico quadrato.
Poichè abbiamo messo un'area di superficie maggiore di 4 in una di area 4, ci sarà almeno un punto di $ X $ che si sovrappone sul quadrato appena ottenuto. Segnamo tale punto sui quadrati relativi (che saranno almeno 2) e rimettiamo al loro posto tutti i quadrati sul piano. Consideriamo 2 di questi punti, $ V_1 $ e $ V_2 $: per come sono stati costruiti, appartengo entrambi ad $ X $ e le loro coordinate differiscono per un multiplo di 2. Inoltre, poichè $ X $ è convesso, contiene il segmento $ \overline{V_1 V_2} $. Allora $ V_2 -V_1 = \left(2k, 2h\right) $ ($ -V_1\in X $ poichè $ X $ è simmetrico) e quindi $ \frac{1}{2}\left(V_2 - V_1\right)=\left(k, h\right) $ è il punto cercato (siamo sicuri che non sia l'origine in quanto $ V_2 \neq V_1 $).
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moebius
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Messaggio da moebius » 12 feb 2006, 14:26

Spero sia chiaro...
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