Jensen e la convessità

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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mark86
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Jensen e la convessità

Messaggio da mark86 » 20 ago 2005, 14:47

Una domanda semplice: la diseguaglianza di Jensen vale solo per le funzioni convesse o anche per quelle concave?Ciò nasce dal fatto che Boll ha utilizzato Jensen con il logaritmo che è una funzione concava in questo topic sulla media AM-GM: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3928. L'occasione è buona anche per parlare della diseguaglianza di Jensen e di qualche sua applicazione.... vedete un po'!

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 20 ago 2005, 14:55

Certo che vale la disuguaglianza di Jensen per le funzioni concave, ma ovviamente con senso invertito.
Si dimostra banalmente a partire dalla disuguaglianza di Jensen e dal fatto che se f è concava, allora -f è convessa.

spugna
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Messaggio da spugna » 25 dic 2009, 20:15

MindFlyer ha scritto:Si dimostra banalmente a partire dalla disuguaglianza di Jensen e dal fatto che se f è concava, allora -f è convessa.
Correggetemi se sbaglio,ma mi sembra (ad esempio) che le funzioni $ x^3-x $ e $ -x^3+x $ siano entrambe concave.....
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Messaggio da SkZ » 25 dic 2009, 20:35

la definizione di concava e' quella data da tibor, ergo una funzione non puo' essere concava se presa con segno meno e' concava. ;)
Vorrebbe dire che e' la funzione e' convessa

detta visualemente
Nel caso di funzione convessa con dominio reale, [...] una funzione è convessa in un intervallo se e solo se il segmento che unisce due punti generici del grafico sull'intervallo si trova interamente sopra al grafico della funzione.
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Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 25 dic 2009, 20:49

spugna, per quelle funzioni dipende dall'intervallo in cui le consideri: la prima, per x > 0 è convessa e per x < 0 è concava, la seconda è al contrario.
Per ogni intervallo in cui la consideri, dunque, f cambia concavità.
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Messaggio da Nonno Bassotto » 26 dic 2009, 01:48

SkZ ha scritto: detta visualemente
Nel caso di funzione convessa con dominio reale, [...] una funzione è convessa in un intervallo se e solo se il segmento che unisce due punti generici del grafico sull'intervallo si trova interamente sopra al grafico della funzione.
Una funzione è convessa se il grafico tiene l'acqua quando piove (M. G.)
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Messaggio da SkZ » 26 dic 2009, 02:01

questa e' anche meglio :D (considerato l'autore...)
(ma $ ~e^{ax} $ non riesce a contenere l'acqua :? )


se la funzione e' $ ~C^2 $ (continua con derivata prima e seconda continua), la convessita' equivale a che la derivata seconda e' positiva?
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Messaggio da Matemick » 26 dic 2009, 10:24

Gauss91 ha scritto:spugna, per quelle funzioni dipende dall'intervallo in cui le consideri: la prima, per x > 0 è convessa e per x < 0 è concava, la seconda è al contrario.
Per ogni intervallo in cui la consideri, dunque, f cambia concavità.
non è detto, ci sono funzioni senza punti di flesso che sono o concave o convesse

esempio: $ $e^x $ o $ $log_3{x} $

comunque come dice skz basta studiare il segno della derivata seconda

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Messaggio da fph » 27 dic 2009, 19:09

Nonno Bassotto ha scritto:Una funzione è convessa se il grafico tiene l'acqua quando piove (M. G.)
Preferivo il criterio inventato da una mia compagna di scuola: se la derivata seconda è positiva, la funzione sorride; se la derivata seconda è negativa, la funzione è triste. ;)
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Messaggio da SkZ » 27 dic 2009, 21:11

$ $e^x$ $ allora ha avuto un ictus? :D
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