Infine un po' tutti, anche gli olimpionici meno esperti, ne hanno fatto impiego (probabilmente, senza neanche saperlo!) nel calcolare gli zeri in coda al fattoriale di un dato $ n\in\mathbb{N}_0 $ (click). Dunque ritengo non sia (del tutto) fuor di luogo dedicare una sezione del glossario a questo interessantissimo argomento. Così eccolo...Definizione: siano $ p $ un numero primo naturale ed $ m $ un intero $ \neq 0 $. Esiste allora $ k\in\mathbb{N} $ tale che $ p^k \;\|\; m $, ovvero $ p^k \mid m $ e tuttavia $ p^{k+1} \nmid m $. Ebbene, si pone $ v_p(m) = k $, e si dice che $ k $ è la valutazione $ p $-adica di $ m $. Se poi $ r\in\mathbb{Q}_0 $, esistono $ m, n \in \mathbb{Z}_0 $ tali che $ r = m/n $. Posto $ v_p(r) = v_p(m) - v_p(n) $, si può mostrare (banale!) che $ v_p(r) $ è indipendente dalla rappresentazione (in forma di frazione) di $ r $, ossia dalla scelta di $ m $ ed $ n $, che di fatto possono pertanto assumersi coprimi. Ebbene, $ v_p(r) $ si dice la valutazione $ p $-adica di $ r $.
Vale, fra le altre, la seguente proprietà fondamentale, largamente utilizzata nei problemi coi fattoriali e i binomiali:
Identità di Legendre-De Polignac: per ogni primo naturale $ p $ ed ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, vale $ \displaystyle v_p(n!) = \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^t}\right\rfloor $.
