TdN: delle valutazioni p-adiche

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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HiTLeuLeR
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TdN: delle valutazioni p-adiche

Messaggio da HiTLeuLeR » 17 ago 2005, 17:06

Ho deciso di aprire questo topic poiché credo fermamente che le valutazioni p-adiche siano uno strumento semplice ma potente nella risoluzione di un gran numero di problemi da olimpiade. Del resto, vedo bulgari, russi, rumeni e cinesi usarle con una tale disinvoltura da far invidia persino a qualche illustrissimo professore di casa nostra... Inoltre ho avuto recentemente occasione di usarle io stesso nella soluzione di un simpatico problema assegnato (immagino!) ai test di ammissione all'sns (click). Pure il nostro Marco gli ha fatto poi ricorso nel tentativo di risolvere un vecchio problema (click), che (incidentalmente) ancor oggi attende soluzione. :roll: Infine un po' tutti, anche gli olimpionici meno esperti, ne hanno fatto impiego (probabilmente, senza neanche saperlo!) nel calcolare gli zeri in coda al fattoriale di un dato $ n\in\mathbb{N}_0 $ (click). Dunque ritengo non sia (del tutto) fuor di luogo dedicare una sezione del glossario a questo interessantissimo argomento. Così eccolo...

Definizione: siano $ p $ un numero primo naturale ed $ m $ un intero $ \neq 0 $. Esiste allora $ k\in\mathbb{N} $ tale che $ p^k \;\|\; m $, ovvero $ p^k \mid m $ e tuttavia $ p^{k+1} \nmid m $. Ebbene, si pone $ v_p(m) = k $, e si dice che $ k $ è la valutazione $ p $-adica di $ m $. Se poi $ r\in\mathbb{Q}_0 $, esistono $ m, n \in \mathbb{Z}_0 $ tali che $ r = m/n $. Posto $ v_p(r) = v_p(m) - v_p(n) $, si può mostrare (banale!) che $ v_p(r) $ è indipendente dalla rappresentazione (in forma di frazione) di $ r $, ossia dalla scelta di $ m $ ed $ n $, che di fatto possono pertanto assumersi coprimi. Ebbene, $ v_p(r) $ si dice la valutazione $ p $-adica di $ r $.

Vale, fra le altre, la seguente proprietà fondamentale, largamente utilizzata nei problemi coi fattoriali e i binomiali:

Identità di Legendre-De Polignac: per ogni primo naturale $ p $ ed ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, vale $ \displaystyle v_p(n!) = \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^t}\right\rfloor $.

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Marco
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Messaggio da Marco » 17 ago 2005, 17:54

E allora, ricordiamo anche le operazioni fondamentali con le valutazioni:

(1) $ v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b) $

(2) $ v_p(a+b) = \min\left\{ v_p(a), v_p(b) \right\} $ se $ v_p(a) \neq v_p(b) $

(2') $ v_p(a+b) \geqslant v_p(a) $ se $ v_p(a) = v_p(b) $

[si pone per convenzione che $ v_p(0) = +\infty $]

Dimostrare per esercizio.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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