AM - GM

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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mark86
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AM - GM

Messaggio da mark86 » 14 lug 2005, 00:08

spostato da "algebra" in "glossario", -federico
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Come si dimostra che

$ \sqrt[n] {a_1a_2\cdots a_n}\leq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} $

è valida per ogni $ n\in N $

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Boll
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Messaggio da Boll » 14 lug 2005, 00:16

$ f(x)=\ln(x) $ concava quindi

$ \ln(x_1)+...+\ln(x_n)\le n*\ln\left(\dfrac{x_1+...+x_n}{n}\right) $ per Jensen

$ \ln(x_1x_2...x_n)\le \ln\left(\dfrac{x_1+...+x_n}{n}\right)^n $ proprietà logaritmi

$ x_1x_2...x_n\le \left(\dfrac{x_1+...+x_n}{n}\right)^n $ crescenza logaritmo naturale

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Messaggio da ma_go » 14 lug 2005, 10:59

boll, qualcosa di più vagamente elementare?
suvvia, concavità del logaritmo... stiamo esagerando :)
l'am-gm si dimostra in maniera elementare (credo pure in svariati modi diversi)!

mark86
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Messaggio da mark86 » 14 lug 2005, 11:27

forza... so che c'è una dimostrazione per induzione ma mi sembra abbastanza laboriosa (sfrutta le potenze di 2)... altre strade????

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HumanTorch
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Messaggio da HumanTorch » 14 lug 2005, 14:19

La disuguaglianza di McLaurin dovrebbe bastare, nevvero?

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Boll
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Messaggio da Boll » 15 lug 2005, 11:38

Vediamo se a ma_go piace di più:

LINK!

Ponendo $ m=n $ e $ a_{j,l}={a_{j+l-1} $ abbiamo la tesi

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Messaggio da Boll » 16 lug 2005, 21:57

HumanTorch ha scritto:La disuguaglianza di McLaurin dovrebbe bastare, nevvero?
Certo, come per dimostrare Pitagora in fondo basta Carnot! ;):D

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Perché no?

Messaggio da elianto84 » 16 lug 2005, 22:55

Beh, perché no. Carnot può essere dimostrato per dissezione tanto quanto Pitagora.
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -

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Messaggio da fph » 17 lug 2005, 00:04

Vediamo se vi gusta questa dimostrazione.
Innanzitutto, chiamiamo GM -- media geometrica -- dei numeri $ a_1,\ldots a_n $ l'espressione $ \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} $ e AM -- media aritmetica -- l'espressione $ \frac{a_1+ \cdots + a_n}{n} $.

Idea: abbiamo una n-upla di reali positivi $ a_1,\ldots,a_n $ e vogliamo "far crescere" il loro prodotto. Faremo una serie di trasformazioni della n-upla che lasciano invariata la somma ma fanno aumentare il prodotto, cercando di far "avvicinare" i numeri tra loro. Il nostro primo tentativo di trasformazione è questo: prendiamo il numero più basso $ b $ e il numero più alto $ c $, li cancelliamo e li rimpiazziamo con (due copie del)la loro media aritmetica $ \frac{b+c}{2} $: così, la somma degli n numeri è rimasta invariata ma il loro prodotto è aumentato, perché
$ bc \le \frac{b^2+2bc+c^2}{4} $
(am-gm a due termini, segue dalla positività del quadrato $ (b-c)^2 \ge 0 $).

Ora, ragionando intuitivamente, ripetendo molte volte questa "trasformazione" (ogni volta operiamo sul numero più piccolo e sul più grande della nuova n-upla ottenuta...) "avviciniamo" pian piano i numeri della n-upla, quindi arriveremo alla fine ad avere tutti gli n numeri uguali tra loro: è semplice verificare che se gli n numeri sono uguali la GM è uguale alla AM che a sua volta è uguale alla AM degli n numeri iniziali (la somma resta invariata quando cancelliamo e sostituiamo i numeri...)
Per cui, abbiamo fatto tante operazioni che fanno aumentare ogni volta il prodotto (e quindi la GM) dei numeri e siamo arrivati alla fine ad uguagliare la AM: ne segue che la GM dei numeri originali doveva essere minore della loro AM.

Funziona? Siete d'accordo? beh, la risposta è che questo ragionamento non funziona :-D Avete 10 righe bianche di tempo per trovare il "buco", poi potete continuare a leggere...










Il problema di questa dimostrazione è che potremmo non arrivare mai ad avere tutti i numeri uguali, ma ad ogni passo ci "avviciniamo sempre più" all'uguaglianza senza mai raggiungerla: per esempio se partiamo da 2-1-1 dovremmo arrivare alla fine ad avere scritti tre numeri uguali a 4/3, ma questo è impossibile perché tutti i denominatori che compaiono nei nostri conti sono potenze di due (esercizio: formalizzare...). Come lo risolviamo? Invece di rimpiazzare b,c -> (b+c)/2, (b+c)/2 cerchiamo di fare in modo che uno dei due numeri "nuovi" sia uguale alla media aritmetica (la chiamiamo $ s $) di tutti gli n numeri (che è il nostro "target"): facciamo allora la sostituzione
b, c -> s, b+c-s
(abbiamo detto che sceglievamo come b il piu' piccolo numero disponibile e come c il piu' grande, quindi $ b < s < c $ (tra n numeri, se non sono tutti uguali, c'è n'è sempre almeno uno minore della loro AM e uno maggiore... vi è chiaro questo?)
(in particolare, c-s>0 e quindi b+c-s>0 e la sostituzione ci lascia sempre con numeri reali positivi)
Ora, se avessimo
$ bc \le s(b+c-s) $
potremmo continuare la dimostrazione come nel caso precedente, sapendo che questa volta il nostro procedimento ha termine. Per dimostrarlo, facciamo la sostituzione
b=s-x, c=s+y con $ x,y > 0 $
e otteniamo
$ s(b+c-s)-bc=s^2+(y-x)s-s^2-(y-x)s+xy=xy>0 $

quindi possiamo come nel caso precedente fare una serie di sostituzioni ognuna delle quali fa aumentare la GM lasciando invariata la AM. In più, questa volta il nostro procedimento finisce sempre perché ad ogni passo il numero di termini uguali a s (cioè la AM) aumenta di uno. Quindi, GM_iniziale<GM_1<GM_2<...<GM_finale = AM_finale = AM_iniziale
dove il primo "=" si verifica per calcolo diretto (tutti i numeri sono uguali...) e il secondo deriva dal fatto che la nostra trasformazione lascia invariata la somma -- e quindi la AM -- dei numeri scritti.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Marco
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Messaggio da Marco » 19 lug 2005, 10:12

Se ne è già parlato, sempre su questo Forum, anche qui:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3497
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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