Media Geometrica e Media Aritmetica

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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hydro
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Messaggio da hydro » 19 apr 2005, 19:56

[Non si deve chiedere scusa per l'ignoranza: siamo tutti qui per imparare. Questo quesito è più generale e senz'altro merita di essere postato nel Glossario, con le relative risposte. M.]
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scusate la mia ignoranza, ma cosa vuol dire AM-GM?

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Boll
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Messaggio da Boll » 19 apr 2005, 20:56

Disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica cioè, presa una generica $ n-upla $ di reali positivi $ x_1,x_2,\dots,x_n $ si avrà che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i\ge n\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n} $

fph
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Messaggio da fph » 20 apr 2005, 00:07

Boll ha scritto:Disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica cioè, presa una generica $ n-upla $ di reali positivi $ x_1,x_2,\dots,x_n $ si avrà che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i\ge n\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n} $
Se ti interessa, trovi un'introduzione all'AM-GM e a disuguaglianze come questa in questa dispensa:
http://www-dimat.unipv.it/~gilardi/WEBG ... nd-dis.pdf

ciao,
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Marco
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Messaggio da Marco » 20 apr 2005, 08:30

Conosco una graziosa interpretazione geometrica di AM, GM per n=2. E' molto famosa, per cui molti l'avranno già vista, comunque...

La tesi è

$ \displaystyle \sqrt{x_1 x_2} \leqslant \frac{x_1+x_2}{2} $.

Prendete un semicerchio di raggio $ \frac{x_1+x_2}{2} $. Sul diametro di base $ AB $ segnate il p.to $ P $ in modo tale che divida il diametro in due segmenti lunghi $ x_1 $ e $ x_2 $.

Da $ P $ elevate la perpendicolare al diametro fino a intersecare la semi.crf. in $ C $. Il triangolo $ ABC $ è retto. Per il Teorema di Euclide,

$ CP^2 = x_1 x_2 $.

Del resto, $ CP $ è minore [largo] del raggio (è una semicorda), per cui

$ \displaystyle GM = \sqrt{x_1 x_2} = CP \leqslant r = \frac{x_1+x_2}{2} = AM $. []

Bellina, vero?

Tra l'altro, con questa dimostrazione, si vede anche che l'uguaglianza vale se e solo se $ x_1 = x_2 $ (cosa che è vera più in generale, anche se Boll si è scordato di dirlo: AM = GM vale nel e solo nel caso in cui tutti gli x siano uguali).

Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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