Massimizzar e organizzar
Inviato: 07 apr 2005, 19:54
Rispondo qui alla domanda di mattilgale nel thread "forma vuole ..." di ma_go nella sezione Geometria, visto che la cosa può essere più articolata di quanto sembri.
Forse è proprio quello che il Nostro voleva sentirsi dire, e quindi quanto segue sono inutili sproloqui, o forse no, e quindi quanto segue, lungi dall'aver acquistato utilità alcuna, non è però più l'unico post inutile sull'argomento.
Ora, quando si parla di massimizzare o di minimizzare, si chiede per l'appunto di intraprendere la ricerca di un massimo o di un minimo di una qualche funzione. Solo che a volte la faccenda non è così chiara : ad esempio, nel problema proposto da ma_go
Il quadro generale della faccenda di solito è :
1)abbiamo una funzione Q che dipende da vari parametri, poniamo di chiamarli x_1 , ... x_n ; nel testo del problema si danno delle condizioni su questi parametri, tipicamente se ne fissano alcuni e si stabiliscono delle limitazioni sugli altri. Siano ad esempio x_1 , ... x_m i parametri fissati e x_(m+1) , ... , x_n i restanti su cui vi possono essere limitazioni o altri vincoli più o meno complicati.
Richiedere di massimizzare (o minimizzare) Q significa chiedere di cercare dei valori a_(m+1), ... ,a_n (solo da m+1 a n poichè i primi m parametri sono fissi) tali che, comunque si scelgano b_(m+1) , ..., b_n, che rispettino comunque le limitazione imposte sui parametri, si ha
$ Q(x_1, ... , x_m, a_{m+1}, ... , a_n)\geq Q(x_1, ... , x_m, b_{m+1}, ... , b_n) $
Esempio - I
Trovare l'area massima di un triangolo in cui si abbia un lato di lunghezza 1 e il perimetro di lunghezza 3. In questo caso, i tre parametri sono i lati e la funzione è l'area, ad esempio tramite la formula di erone:
$ Q(a,b,c)=\displaystyle{\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\cdot\frac{(a+b-c)}{2}\cdot\frac{(a-b+c)}{2}\cdot\frac{(-a+b+c)}{2}}} $
ora, sappiamo che a=1 e a+b+c=3, ovvero a+b=2.
Per ora non domandiamoci come risolvere questo problema, supponiamo di sapere già che b=c=1 una la soluzione. Questo vuol dire che, comunque scegliamo x,y tali che x+y=2, si ha
$ Q(1,1,1)\geq Q(1,x,y) $
(potete fare due prove a caso, se non ci credete).
2) Pensiamo un attimo a che tipi di vincoli possono esserci sui parametri :
---) la cosa più naturale è una limitazione, ovvero una condizione del tipo
a<x_i<b
eventualmente con le disuguaglianze non strette o anche con una sola delle due disuguaglianze.
Ad esempio, nell'esempio di prima, era dato per scontato che a,b,c>0 in quanto i lati di un triangolo sono sempre positivi.
---) un altro tipo molto comune di vincolo è una relazione tra parametri che deve essere rispettata, quindi una condizione della forma
f(x_i, x_j)=0
(anche con più di due parametri), sempre come nell'esempio, in cui si dava la condizione a+b+c=3.
---) un'ultima condizione (più antipatica delle precedenti) può essere una richiesta aggiuntiva su Q, nel nostro esempio si sarebbe potuto chiedere di trovare b,c che massimizzavano l'area, ma in modo che l'area fosse un numero intero (nel qual caso ci sarebbe stato poco da fare); questa condizione, strettamente parlando, non è sui parametri ma su Q, però può comunque essere interpretata come condizione sui parametri : cercare x_1, .. , x_n che massimizzano Q tra tutte le scelte di x_1, ..., x_n tali che Q abbia una certa proprietà.
Spesso nei problemi tali vincoli sono sottintesi (come nel caso della positività dei lati del triangolo) oppure dati in modo intrinseco : ovvero, nel testo non c'è nessuna formula che lega i parametri, ma c'è qualche condizione equivalente da cui si deve dedurre l'espressione matematica del legame.
Esempio - II
Nel problema di ma_go si parla di perimetro (2p) , area (A) e raggio del cerchio circoscritto (R) di un triangolo. Non da nessuna formula che lega le tre grandezze, almeno apparentemente ... in realtà, la geometria fornisce in questo caso molte relazioni, ad esempio
A=abc/(4R)
dove a,b,c sono i lati, è un vincolo che A, R devono rispettare, oppure
r*p=A
dove r è il raggio del cerchio inscritto, è un vincolo su p e A, e così via. Di solito la ricerca del giusto vincolo, che descrive appieno la situazione di p, A, R (ovvero quella di essere i suddetti elementi di un triangolo) è un grosso passo avanti nella soluzione del problema.
3) Infine, per trovare il massimo o il minimo in questione, si possono imboccare più strade.
Se il problema è esposto esplicitamente in termini di funzioni, di solito si può procedere con manipolazioni algebriche dell'espressione, fino a trovare, tramite disuguaglianze opportune, il valore massimo o minimo che tale espressione può assumere e i valori dei parametri per cui lo assume.
Se il problema non è direttamente un'espressione algebrica o cmq non è in termini espliciti, si può ricondurlo in quella forma come detto nel punto precedente, ovvero esprimendo i legami tra la funzione che si vuol massimizzare e i suoi parametri e i legami tra i parametri stessi, in termini di funzioni esplicite (insomma, con le quattro operazioni, i polinomi, le funzioni trigonometriche, le cose solite insomma).
Oppure si può tentare di risolvere il problema senza passare alle bieche formule con considerazioni qualitative o inerenti al campo in cui il problema è formulato, ad esempio con considerazioni geometriche se il problema è di geometria.
Esempio - III
Torniamo al problema dell'esempio I.
Proviamo a risolverlo con manipolazioni algebriche.
Sappiamo che a+b+c=3. Quindi possiamo riscrivere Q(a,b,c) come :
Q(a,b,c)=sqrt((3/2)*(3/2 - a)*(3/2 - b)*(3/2 + c))
Ora, a=1 e b=2-c. Quindi
Q(1,2-c,c,)=sqrt((3/16)*(2c - 1)*(3 -2c))
che è funzione della sola c; ora, se riusciamo a trovare il massimo della radice quadrata di qualcosa, abbiamo anche trovato il massimo del qualcosa e se troviamo il massimo dell'argomento, sicuramente abbiamo trovato anche il massimo della radice. Quindi cerchiamo il massimo di
f(c)=(2c-1)(3-2c)=-3+8c-4c^2
ora, con qualche trucchetto otteniamo il risultato voluto :
-3+8c-4c^2=1-(2c-2)^2 che è massimo per c=1. Quindi b=1 e
Q(1,1,1)=sqrt(3)/4.
Possiamo anche procedere in un altro modo, che non tira in ballo l'algebra, ma che richiede qualche conoscenza geometrica.
Siano C, B gli estremi del lato a, di lunghezza 1. Il luogo dei punti A tali che il perimetro di ABC sia 3 è un'ellisse con fuochi in B,C. Fissato un punto A su quest'ellisse, l'area di ABC è direttamente proporzionale alla distanza di A da BC, quindi alla lunghezza della corda per A perpendicolare all'asse maggiore dell'ellisse. E' noto che tra tali corde, la più lunga è l'asse minore, che massimizza quindi la funzione. Dunque, A si può trovare in uno dei due estremi dell'asse minore, che è per l'appunto l'asse del segmento BC. Quindi ABC è isoscele, con base a=1 e perimetro 3, ovvero è equilatero di lato 1 e quindi di area sqrt(3)/4.
Spero di essere stato non completamente oscuro e che questo sproloquio sia, almeno in parte, utile a qualcuno.
Una risposta, già data a quanto vedo, può essere "trovare il valore massimo".sono di seconda e colgo l'occasione epr imaprare cose nuove... cosa vuol dire massimizzare???
Forse è proprio quello che il Nostro voleva sentirsi dire, e quindi quanto segue sono inutili sproloqui, o forse no, e quindi quanto segue, lungi dall'aver acquistato utilità alcuna, non è però più l'unico post inutile sull'argomento.
Ora, quando si parla di massimizzare o di minimizzare, si chiede per l'appunto di intraprendere la ricerca di un massimo o di un minimo di una qualche funzione. Solo che a volte la faccenda non è così chiara : ad esempio, nel problema proposto da ma_go
quali sono gli argomenti di questa funzione ? al variare di che cosa si deve trovare il massimo ?dato un triangolo di perimetro 2p , area A , inscritto in una circonferenza di raggio R , massimizzare Ap/R^3.
Il quadro generale della faccenda di solito è :
1)abbiamo una funzione Q che dipende da vari parametri, poniamo di chiamarli x_1 , ... x_n ; nel testo del problema si danno delle condizioni su questi parametri, tipicamente se ne fissano alcuni e si stabiliscono delle limitazioni sugli altri. Siano ad esempio x_1 , ... x_m i parametri fissati e x_(m+1) , ... , x_n i restanti su cui vi possono essere limitazioni o altri vincoli più o meno complicati.
Richiedere di massimizzare (o minimizzare) Q significa chiedere di cercare dei valori a_(m+1), ... ,a_n (solo da m+1 a n poichè i primi m parametri sono fissi) tali che, comunque si scelgano b_(m+1) , ..., b_n, che rispettino comunque le limitazione imposte sui parametri, si ha
$ Q(x_1, ... , x_m, a_{m+1}, ... , a_n)\geq Q(x_1, ... , x_m, b_{m+1}, ... , b_n) $
Esempio - I
Trovare l'area massima di un triangolo in cui si abbia un lato di lunghezza 1 e il perimetro di lunghezza 3. In questo caso, i tre parametri sono i lati e la funzione è l'area, ad esempio tramite la formula di erone:
$ Q(a,b,c)=\displaystyle{\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\cdot\frac{(a+b-c)}{2}\cdot\frac{(a-b+c)}{2}\cdot\frac{(-a+b+c)}{2}}} $
ora, sappiamo che a=1 e a+b+c=3, ovvero a+b=2.
Per ora non domandiamoci come risolvere questo problema, supponiamo di sapere già che b=c=1 una la soluzione. Questo vuol dire che, comunque scegliamo x,y tali che x+y=2, si ha
$ Q(1,1,1)\geq Q(1,x,y) $
(potete fare due prove a caso, se non ci credete).
2) Pensiamo un attimo a che tipi di vincoli possono esserci sui parametri :
---) la cosa più naturale è una limitazione, ovvero una condizione del tipo
a<x_i<b
eventualmente con le disuguaglianze non strette o anche con una sola delle due disuguaglianze.
Ad esempio, nell'esempio di prima, era dato per scontato che a,b,c>0 in quanto i lati di un triangolo sono sempre positivi.
---) un altro tipo molto comune di vincolo è una relazione tra parametri che deve essere rispettata, quindi una condizione della forma
f(x_i, x_j)=0
(anche con più di due parametri), sempre come nell'esempio, in cui si dava la condizione a+b+c=3.
---) un'ultima condizione (più antipatica delle precedenti) può essere una richiesta aggiuntiva su Q, nel nostro esempio si sarebbe potuto chiedere di trovare b,c che massimizzavano l'area, ma in modo che l'area fosse un numero intero (nel qual caso ci sarebbe stato poco da fare); questa condizione, strettamente parlando, non è sui parametri ma su Q, però può comunque essere interpretata come condizione sui parametri : cercare x_1, .. , x_n che massimizzano Q tra tutte le scelte di x_1, ..., x_n tali che Q abbia una certa proprietà.
Spesso nei problemi tali vincoli sono sottintesi (come nel caso della positività dei lati del triangolo) oppure dati in modo intrinseco : ovvero, nel testo non c'è nessuna formula che lega i parametri, ma c'è qualche condizione equivalente da cui si deve dedurre l'espressione matematica del legame.
Esempio - II
Nel problema di ma_go si parla di perimetro (2p) , area (A) e raggio del cerchio circoscritto (R) di un triangolo. Non da nessuna formula che lega le tre grandezze, almeno apparentemente ... in realtà, la geometria fornisce in questo caso molte relazioni, ad esempio
A=abc/(4R)
dove a,b,c sono i lati, è un vincolo che A, R devono rispettare, oppure
r*p=A
dove r è il raggio del cerchio inscritto, è un vincolo su p e A, e così via. Di solito la ricerca del giusto vincolo, che descrive appieno la situazione di p, A, R (ovvero quella di essere i suddetti elementi di un triangolo) è un grosso passo avanti nella soluzione del problema.
3) Infine, per trovare il massimo o il minimo in questione, si possono imboccare più strade.
Se il problema è esposto esplicitamente in termini di funzioni, di solito si può procedere con manipolazioni algebriche dell'espressione, fino a trovare, tramite disuguaglianze opportune, il valore massimo o minimo che tale espressione può assumere e i valori dei parametri per cui lo assume.
Se il problema non è direttamente un'espressione algebrica o cmq non è in termini espliciti, si può ricondurlo in quella forma come detto nel punto precedente, ovvero esprimendo i legami tra la funzione che si vuol massimizzare e i suoi parametri e i legami tra i parametri stessi, in termini di funzioni esplicite (insomma, con le quattro operazioni, i polinomi, le funzioni trigonometriche, le cose solite insomma).
Oppure si può tentare di risolvere il problema senza passare alle bieche formule con considerazioni qualitative o inerenti al campo in cui il problema è formulato, ad esempio con considerazioni geometriche se il problema è di geometria.
Esempio - III
Torniamo al problema dell'esempio I.
Proviamo a risolverlo con manipolazioni algebriche.
Sappiamo che a+b+c=3. Quindi possiamo riscrivere Q(a,b,c) come :
Q(a,b,c)=sqrt((3/2)*(3/2 - a)*(3/2 - b)*(3/2 + c))
Ora, a=1 e b=2-c. Quindi
Q(1,2-c,c,)=sqrt((3/16)*(2c - 1)*(3 -2c))
che è funzione della sola c; ora, se riusciamo a trovare il massimo della radice quadrata di qualcosa, abbiamo anche trovato il massimo del qualcosa e se troviamo il massimo dell'argomento, sicuramente abbiamo trovato anche il massimo della radice. Quindi cerchiamo il massimo di
f(c)=(2c-1)(3-2c)=-3+8c-4c^2
ora, con qualche trucchetto otteniamo il risultato voluto :
-3+8c-4c^2=1-(2c-2)^2 che è massimo per c=1. Quindi b=1 e
Q(1,1,1)=sqrt(3)/4.
Possiamo anche procedere in un altro modo, che non tira in ballo l'algebra, ma che richiede qualche conoscenza geometrica.
Siano C, B gli estremi del lato a, di lunghezza 1. Il luogo dei punti A tali che il perimetro di ABC sia 3 è un'ellisse con fuochi in B,C. Fissato un punto A su quest'ellisse, l'area di ABC è direttamente proporzionale alla distanza di A da BC, quindi alla lunghezza della corda per A perpendicolare all'asse maggiore dell'ellisse. E' noto che tra tali corde, la più lunga è l'asse minore, che massimizza quindi la funzione. Dunque, A si può trovare in uno dei due estremi dell'asse minore, che è per l'appunto l'asse del segmento BC. Quindi ABC è isoscele, con base a=1 e perimetro 3, ovvero è equilatero di lato 1 e quindi di area sqrt(3)/4.
Spero di essere stato non completamente oscuro e che questo sproloquio sia, almeno in parte, utile a qualcuno.
