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volevo chiedervi se è possibile usare delle frazioni nei due termini de una congruenza. Cioè se ab==1 posso dire che a==1/b

mmmh, come fa $ \displaystyle \frac{1}{b} $ a essere intero????, comunque credo di aver capito la tua domanda e ti rispondo:

Lemma

$ as\equiv bs $ $ \left(\mod m\right) $
se $ MCD(m,s)=1 $
allora $ a\equiv b $ $ \left(\mod m\right) $

Di solito nelle congruenze si fa in modo di lavorare solo con numeri interi. Tuttavia, nel caso di un modulo primo $ p $, mi pare di aver visto in alcuni casi l'uso abbastanza libero di $ \displaystyle\frac{a}{b} $ per indicare $ a \cdot b^{-1} $, a patto che $ MCD(b, p) = 1 $ (altrimenti l'inverso ovviamente non esiste). Può essere comodo, ma in ogni caso è solo una notazione abbreviata di cui si può tranquillamente fare a meno, e in ambito olimpico personalmente ti sconsiglierei l'utilizzo di notazioni non del tutto convenzionali.

Ciao!
Salvatore

esplicito quello che ha detto spider:

di congruenze si parla quando ci sono in giro numeri interi, quindi una congruenza in cui compaia un numero razionale non intero non ha molto senso...

nell'aritmetica modulare esiste comunque un'operazione simile a quella di *reciproco* nel senso dei numeri reali, cioè

dato un intero $ m $ e un intero positivo $ n\geq 2 $ si chiama inverso motiplicativo di $ m $ rispetto al modulo $ n $ un intero $ p $ tale che $ mp==1 (n) $. Se un tale intero esiste, si indica con $ m^{-1} $. precisamente, si dimostra (esercizio) che $ m $ ha un inverso modulo $ n $ se e solo se $ MCD(m,n)=1 $; in particolare, se $ n $ è primo, ogni numero non multiplo di $ n $ ha un inverso modulo $ n $.
(ovviamente se due interi distinti sono inversi di uno stesso intero modulo $ n $, allora appartengono alla stessa classe di resto modulo $ n $, quindi più precisamente l'inverso, se esiste, è una classe di resto, non un intero)

quello che diceva spider è che, a volte, $ ab^{-1} $ viene indicato con $ \frac{a}{b} $. questa notazione si può usare, e a volte può essere più comoda dell'altra; è importante però avere in mente che in questo caso la frazione rappresenta un intero (anzi, una classe di resto modulo $ n $) e magari, se la utilizzate in una gara, specificare cosa state intendendo con $ \frac{a}{b} $.

grazie mille a tutti per le risposte. Infatti intendevo fare il reciproco di due numeri

ciao by gian