quale misterioso metodo di analisi numerica?

[hexen]

ciao
studio di funzione con derive... zeri della derivata seconda, risolvere l'equazione $ $30(9x^3+72x^2+180x+140)=0$ $

Derive mi dà come zeri:

$ $x = \frac{4 \cos \left (2 \mbox{ arccot} \left (- \frac{\sqrt{15}}{5} \right ) \right ) }{3} - \frac{8}{3}$ $ e altri due valori simili.

Quale metodo di risoluzione ha usato?

[MindFlyer]

Penso che per i polinomi di 3° grado usi la formula standard di Cardano.
Comunque questa non è roba da glossario e teoria di base olimpica, piuttosto si tratta di algoritmica!!!

[__Cu_Jo__]

Le formule che derive usa sono queste:
$ a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 \Rightarrow $

$ x_1 = 2\sqrt { - \rho } \cos \left( {\frac{\theta }{3}} \right) - \frac{{a_2 }}{{3a_3 }} $

$ x_2 = 2\sqrt { - \rho } \cos \left( {\frac{{\theta + 2\pi }}{3}} \right) - \frac{{a_2 }}{{3a_3 }} $

$ x_3 = 2\sqrt { - \rho } \cos \left( {\frac{{\theta + 4\pi }}{3}} \right) - \frac{{a_2 }}{{3a_3 }} $

Dove
$ \rho = \frac{{3a_1 a_3 - a_2^2 }}{{9a_3^2 }} $
$ \theta = \cos ^{ - 1} \left( {\frac{\vartheta }{{\sqrt { - \rho ^3 } }}} \right) $
e
$ \vartheta = \frac{{9a_1 a_2 a_3 - 27a_0 a_3^2 - 2a_2^3 }}{{54a_3^3 }} $

Ovviamente non sono formule da usarsi a livello pratico...
Più interessante e pratica è la risuluzione dell'equazione ( a volte si rivela molto utile) $ x^3 + px = q $


$ x_1 = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}}} }} - \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}}} }} $

[hexen]

provengono dalla forma goniometrica dei numeri complessi coniugti che talvolta compaiono nella formula di cardano?

[__Cu_Jo__]

provengono dalla forma goniometrica dei numeri complessi coniugti che talvolta compaiono nella formula di cardano?

No... almeno per quanto ne so io(non sono molto esperto in materia).
Comunque questa è la dimostrazione completa:

Il primo passo è decomprimere l'equazione di 3° grado del suo termine quadratico attraverso la sostituzione:
$ x \equiv y - \frac{{a_2 }}{{3a_3 }} $
in seguito alla quale l'equazione diventa
$ y^3 + 3\rho y - 2\vartheta = 0 $
con
$ \rho = \frac{{3a_1 a_3 - a_2^2 }}{{9a_3^2 }} $
$ \vartheta = \frac{{9a_1 a_2 a_3 - 27a_0 a_3^2 - 2a_2^3 }}{{54a_3^3 }} $

Poniamo per ragioni che saranno chiare solo in seguito
$ y \equiv 2\sqrt { - \rho } \cos \theta $
da cui
$ 2\sqrt { - \rho ^3 } \left( {4\cos ^3 \theta - 3\cos \theta } \right) - 2\vartheta = 0 $
Ma per la formula di triplicazione del coseno
$ 4\cos ^3 \theta - 3\cos \theta = \cos 3\theta $
quindi
$ \cos 3\theta = - \frac{\vartheta }{{\sqrt { - \rho ^3 } }} $

Quest'ultima ha 3 soluzioni entrambe accettabili:
$ \theta _1 = \frac{{\cos ^{ - 1} - \frac{\vartheta }{{\sqrt { - \rho ^3 } }}}}{3} $

$ \theta _2 = \theta _1 + \frac{{2\pi }}{3} $

$ \theta _3 = \theta _1 + \frac{{4\pi }}{3} $
Le radici del polinomio di 3° grado in x sono :
$ x_i = 2\sqrt { - \rho ^3 } \cos \theta _i - \frac{{a_2 }}{{3a_3 }} $