TdN: il teorema di Dirichlet (sui primi nelle progr. aritm.)

[HiTLeuLeR]

Teorema di Dirichlet: se $ a, b\in\mathbb{N} $ e $ \gcd(a,b) = 1 $, allora esistono infiniti $ k\in\mathbb{N} $ tali che $ (ak + b)\in\mathfrak{P} $.

Dio, quanto mi piace questo teorema!!! E com'è innocente poi, vero? Muahuahuahuahah...

[Sisifo]

Ma è giusto mettere questo problema nella teoria di base? A me avevano raccontato che richiedeva tecniche avanzate di analisi per essere dimostrato, ed al massimo erano accessibili alcuni casi particolari...

[MindFlyer]

Negli ultimi tempi si è fatto un gran parlare di questo teorema, e secondo me è giusto che venga enunciato qui nel glossario, anche se non è olimpico. Sapere cosa dice il teorema è un bene, anche se non è bello usarlo nelle dimostrazioni olimpiche.

[HiTLeuLeR]

@Sisifo: non intende essere un problema, infatti... E' solo l'enunciato di un teorema: per quanto complicato da dimostrare, non ho riserve a dire che trattasi d'uno dei risultati più importanti di tutta la storia della Teoria dei Numeri. Non capisco adesso dove stia il problema... Sta' tranquillo, su, non è mia intenzione chiederti di provarlo!

[mattilgale]

sorry... cosa si intende per gcd(a,b)... mi spiegate a parole quel teorema??

grazie $ 10^3 $

[MindFlyer]

gcd significa Greatest Common Divisor, ovvero Massimo Comun Divisore.
Quindi gcd(a,b)=1 significa che a e b sono coprimi (o primi tra loro), ossia non hanno divisori primi comuni.
Perciò il teorema dice che ogni progressione aritmetica in cui la ragione ed il primo termine sono numeri naturali coprimi, contiene infiniti numeri primi.

[BlaisorBlade]

Negli ultimi tempi si è fatto un gran parlare di questo teorema, e secondo me è giusto che venga enunciato qui nel glossario, anche se non è olimpico. Sapere cosa dice il teorema è un bene, anche se non è bello usarlo nelle dimostrazioni olimpiche.

Ma Gobbino l'ha dato buono a Barbieri nel Team selection Test, l'anno scorso (problema 5, se non sbaglio; il testo non lo ricordo ma si trova sul sito di Gobbino, io ho il sorgente TeX se volete).

[piever]

Scusate l'ignoranza ma ak+b appartiene a cosa? Quel simbolo è una beta? Cosa rappresenta?

[HiTLeuLeR]

Il simbolo "$ \mathfrak{P} $", che qualcuno ha definito un parto del mio onanismo mentale, è una specie di "P" gotica: si usa tipicamente per indicare l'insieme dei numeri primi razionali (per intenderci, i primi di $ \mathbb{Z} $).

[piever]

Grazie 1000