TdN: il teorema di Chebyshev

[HiTLeuLeR]

Teorema di Chebyshev: per ogni intero $ n > 1 $, esiste $ q\in\mathfrak{P} $ tale che: $ n < q < 2n $.

Vi ricordo che $ \mathfrak{P} $ denota l'insieme dei numeri primi di $ \mathbb{N} $. Perché non passi inosservato, vi sottolineo poi che le disuguaglianze indicate sono tutte disuguaglianze strette.

Del teorema di Chebyshev, anche noto come postulato di Bertrand, dacché enunciato (sulla base di sole evidenze "sperimentali" e considerazioni per lo più euristiche) dal francese Joseph Bertrand nel 1845 e dimostrato appena cinque anni più tardi dall'imponente Matematico russo Pafnuty Chebyshev mediante l'impiego sostanziale di metodi analitici, oggi è disponibile un proof interamente elementare, per quanto luuuuuungo e articolato, al punto che si potrebbe persino pensare di proporne la dimostrazione come esercizio di livello avanzato (IMO?!?) nella sezione dedicata al problem solving...

[MindFlyer]

A questo proposito vi offro un aneddoto sul Forti (per una volta è qualcun altro a raccontare aneddoti su di lui!!).
Non lo metto nella sezione delle barzellette&aneddoti perché ha a che fare col topic, e poi non vorrei offendere il Forti (rubandogli il mestiere...).

Allora, correva l'anno scorso, e io mi trovavo alla gara di selezione del PreIMO di Pisa, a fare assistenza. Ad un certo punto entra Forti tutto soddisfatto, che mette davanti a Bobo un po' di fogli enunciando di aver trovato una dimostrazione del postulato di Bertrand che migliorava sostanzialmente quella già elementare di Erdos, in quanto faceva un uso più naturale di certi coefficienti binomiali (o almeno così mi pare di ricordare!).
Insomma, dava l'impressione di aver fatto la scoperta del secolo, se non che Bobo, dopo aver dato una veloce occhiata alla prima pagina ed aver aspettato che Forti uscisse, spostò i fogli da una parte e se ne andò pure lui con aria tutt'altro che interessata.

Ed a quel punto mi ritrovai solo (a parte gli stagisti, ignari di tutto), a contemplare quella pila di fogli, chiedendomi se fossi degno di dare una sbirciatina anch'io, o se così facendo avrei disonorato il lavoro del Forti, violando la sua dimostrazione senza il suo permesso.
Ma poi prevalse la curiosità, e così cominciai a leggere... Del resto, Bobo aveva posato i fogli proprio davanti a me, come facevo a non guardarli?
Ora tutti vorrete sapere cosa c'era scritto... Ebbene, non lo so. Dopo aver letto qualche riga mi sono accorto che non avevo la minima voglia di concentrarmi su una dimostrazione di 10 pagine, e così ho lasciato perdere. Tanto ormai potevo dire di aver visto e toccato con mano la dimostrazione originale del Forti del postulato di Bertrand, e questa era la cosa importante da raccontare ai posteri!

E quindi, col trionfale ingresso della dimostrazione del Forti, di cui mi faccio indegno portavoce, si conclude la rassegna, iniziata da HiTLeuLeR, sulle dimostrazioni del postulato di Bertrand.
Che cosa dica esattamente questa dimostrazione, probabilmente lo sa solo il Forti...

[fph]

Il teorema di Chebyshev non e' "problem solving olimpico", quindi semmai potete dimostrarlo in "matematica non elementare". Mi rendo conto che in base alle definizioni piu' "strict" e' elementare, ma sarete d'accordo con me che non si puo' definire "olimpico".
Secondo me stiamo un po' "avvelenando" la sezione del problem solving olimpico con cose che olimpiche proprio non sono (pur potendosi considerare elementari).
Forse e' arrivato il momento di decidere per una politica un po' piu' "aggressiva" su cosa considerare OT in quella sezione o finiamo con lo scoraggiare i ragazzi in eta' da Olimpiadi.

ciao,
--federico