L'identità di Legendre-De Polignac

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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L'identità di Legendre-De Polignac

Messaggio da HiTLeuLeR » 09 mar 2005, 12:37

Identità di Legendre-De Polignac: per ogni intero $ n > 1 $: $ \displaystyle{n! = \prod_{p\: \mid n!} p^{\epsilon_p}} $, ove la produttoria si intende estesa ad ogni divisore primo intero positivo di $ n! $ ed $ \displaystyle{\epsilon_p = \sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor = \sum_{k=1}^{\lfloor\log_p (n)\rfloor}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor} $.

Segue quindi la versione olimpica dello stesso enunciato:

Identità di Legendre-De Polignac: se $ n $ è un intero $ > 1 $ e $ p_1, p_2, \ldots, p_r $ i divisori primi interi positivi distinti di $ n! $ (con $ r\in\mathbb{N}_0 $), allora: $ n = p_1^{\epsilon_1} p_2^{\epsilon_2} \ldots p_r^{\epsilon_r} $, ove $ \displaystyle{\epsilon_k = \left\lfloor\frac{n}{p_k}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p_k^2}\right\rfloor + \ldots + \left\lfloor\frac{n}{p_k^{\lfloor\log_{p_k} (n)\rfloor}}\right\rfloor} $, $ \forall k = 1, 2, \ldots, r $.

:!: Questo risultato si rivela particolarmente utile in tutta una serie di problemotti piuttosto standardizzati che coinvolgono [click!] fattoriali, binomiali e compagnia bella...

:arrow: Deh, voglia tu scusarmi, MindFlyer, se non sono stato poi così diligente come avresti voluto! E' soltanto che non ho saputo resistere alla tentazione di metterci comunque in mezzo un po' di simbolazzi... Perdonami, se puoi... E grazie - d'altra parte - dell'onor concessomi, eh... Mai si dica ch'io non porto gratitudine!!! 8) :mrgreen:

EDIT: oh, una distrazione di troppo: i primi coinvolti nelle formule sopra indicate sono divisori di $ n! $, e non già di $ n $. Detto in altre parole, le produttorie indicate sopra si estensono a tutti e soli i primi naturali $ \leq n $, così come segnalato da Marco, fatta eccezione per una piccola svista... :wink:
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 09 mar 2005, 15:18, modificato 3 volte in totale.

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Re: L'identità di Legendre-De Polignac

Messaggio da Marco » 09 mar 2005, 13:33

Due errata corrige
HiTLeuLeR ha scritto:$ \displaystyle{n! = \prod_{p < n} p^{\epsilon_p}} $
[...]
$ n! = p_1^{\epsilon_1} p_2^{\epsilon_2} \ldots p_r^{\epsilon_r} $

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Re: errata corrige!

Messaggio da HiTLeuLeR » 09 mar 2005, 15:11

Marco ha scritto:$ \displaystyle{n! = \prod_{p < n} p^{\epsilon_p}} $
Eheh... Lì sul range della produttoria ci va un segno di "minore o uguale", e non di "minore stretto"... :mrgreen: :wink:

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