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Baricentriche 3D

Inviato: 01 set 2017, 00:41
da gup
Ciao a tutti, volevo chiedere se qualcuno sa dove posso trovare informazioni o dispense sulle baricentriche in tre dimensioni. Grazie mille!

Re: Baricentriche 3D

Inviato: 03 set 2017, 14:10
da Neottolemo
Non vendere la tua anima allo dimonio, una volta entrato non ne esci più

Re: Baricentriche 3D

Inviato: 11 set 2017, 13:02
da Talete
Per dare una risposta "seria": non esistono dispense sulle baricentriche in tre dimensioni, semplicemente perché basta aver capito davvero il senso di quelle in due dimensioni per scoprire come funzionano quelle in tre. Quindi se studi e capisci bene quelle "normali", in automatico avrai gratis anche quelle 3D (che però non si usano praticamente mai).

Re: Baricentriche 3D

Inviato: 11 set 2017, 14:10
da gup
Infatti avevo provato a trovare analogie tra le 2D e le 3D ma mi sono bloccato sul fatto che il prodotto vettore non esiste come prodotto interno in più di tre dimensioni...

Re: Baricentriche 3D

Inviato: 11 set 2017, 19:17
da Sirio
In realtà esiste in 7 dimensioni, ma sono cose che per ora non mi servono e non sono nemmeno in grado di capire bene

Re: Baricentriche 3D

Inviato: 11 set 2017, 19:21
da <enigma>
gup ha scritto:
11 set 2017, 14:10
Infatti avevo provato a trovare analogie tra le 2D e le 3D ma mi sono bloccato sul fatto che il prodotto vettore non esiste come prodotto interno in più di tre dimensioni...
Un piccolo dettaglio per cultura personale: questo non è tecnicamente vero, in 7 dimensioni esiste una mappa che prende due vettori restituendone un terzo e soddisfa tutte le proprietà che si chiedono di solito al prodotto vettore (se togli alcune proprietà, esiste in ogni dimensione $n$ una mappa che prende $n-1$ vettori e te ne dà un $n$-esimo a loro ortogonale). Ma difficilmente serve alle olimpiadi.

Re: Baricentriche 3D

Inviato: 15 set 2017, 17:21
da EvaristeG
State deviando dall'argomento.

Il succo è questo: il prodotto vettore non serve, per definire le coordinate baricentriche; è solo un modo veloce per far vedere se che un punto è combinazione convessa ($xA+yB+zC$ con $x+y+z=1$) dei vettori che rappresentano i tre vertici di un triangolo allora stacca aree proporzionali ai coefficienti.
Questo lemma è vero sempre e si può dimostrare in ogni dimensione (al posto dell'area avrai volumi o ipervolumi e invece di un triangolo avrai un tetraedro un politopo del numero giusto di vertici), utilizzando i determinanti.
Una volta fatto questo, il prodotto vettore non serve più, per le coordinate baricentriche, e si usano solo il prodotto scalare (che esiste sempre in ogni dimensione) e operazioni base con i vettori, ogni volta che sono coinvolti un volume o un ipervolume, si usa il determinante (che è definito in dimensione qualsiasi).
Formalmente rimane tutto uguale, solo che un'equazione di primo grado rappresenta un piano e non una retta e un'equazione di secondo grado rappresenta una quadrica e non una conica.