Desargues all'infinito

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Gerald Lambeau
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Desargues all'infinito

Messaggio da Gerald Lambeau » 22 giu 2017, 17:48

Il fatto è questo: abbiamo due triangoli $ABC$ e $A'B'C'$ tali che $AB \, // \, A'B', BC \, // \, B'C', CA \, // \, C'A'$. Allora io posso definire $O=AA' \cap BB'$ e si dimostra facilmente che l'omotetia di centro $O$ che manda $A$ in $A'$ e $B$ in $B'$ allora manda anche $C$ in $C'$, da cui $AA', BB', CC'$ concorrono.
La mia domanda è: questo fatto si può anche dare per buono dicendo che si applica il teorema di Desargues considerando i punti e la retta all'infinito?
La dimostrazione sarebbe tipo: $AB$ e $A'B'$ sono paralleli, perciò il loro punto di intersezione è un punto all'infinito e sta sulla retta all'infinito. Analogamente il punto di intersezione di $BC$ e $B'C'$ e quello di $CA$ e $C'A'$. Dunque le intersezioni delle coppie di lati sono allineate poiché stanno tutte sulla stessa retta (quella all'infinito), ma allora per Desargues si ha che $AA', BB', CC'$ concorrono. Quest'ultima affermazione è giusta? Se sì, vale anche il contrario? Cioè, due coppie lati paralleli, $AA', BB', CC'$ concorrenti ---> Desargues ---> anche la terza di coppia di lati è parallela è giusto come ragionamento? (anche questo si potrebbe dimostrare con l'omotetia)
Ho anche cercato di guardare il caso degenere dove ad esempio $AA' \, // \, BB'$; si dimostra facilmente che i due triangoli sono uguali, quindi l'omotetia diventa una traslazione e quindi $AA' \, // \, BB' \, // \, CC'$, quindi si incontrano ugualmente, in un punto all'infinito, perciò il teorema resta valido.

Dunque, si può applicare o no Desargues considerando anche punti e rette all'infinito?
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Talete
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Re: Desargues all'infinito

Messaggio da Talete » 22 giu 2017, 18:00

Gerald Lambeau ha scritto:
22 giu 2017, 17:48
Dunque, si può applicare o no Desargues considerando anche punti e rette all'infinito?

Be' dai è un teorema proiettivo, alla dimostrazione di Desargues non gliene frega niente se un punto esiste davvero oppure è all'infinito, quindi io direi proprio di sì.
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