Diofantee esponenziali

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?

Moderatore: tutor

matpro98
Messaggi: 365
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Diofantee esponenziali

Messaggioda matpro98 » 03 gen 2017, 10:14

Ci sono tecniche standard che permettono di risolvere cose del tipo $a^x+b^y=c^z$ con $a,b,c $ fissati?

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3960
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Diofantee esponenziali

Messaggioda jordan » 03 gen 2017, 16:50

Non penso, almeno non per tutte. Ti faccio un esempio..
The only goal of science is the honor of the human spirit.

matpro98
Messaggi: 365
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: Diofantee esponenziali

Messaggioda matpro98 » 03 gen 2017, 16:58

Grazie mille

Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 596
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Basilea
Contatta:

Re: Diofantee esponenziali

Messaggioda FrancescoVeneziano » 03 gen 2017, 19:30

Non è elementare, non ha applicazioni olimpiche e dà disuguaglianze troppo larghe per poter essere utile senza un computer, ma il metodo c'è:
https://en.wikipedia.org/wiki/S-unit#S-unit_equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_fo ... logarithms

Fissati a,b,c si può calcolare esplicitamente un numerone C tale che [tex]|x|,|y|,|z|<C[/tex] e a questo punto la diofantea in linea teorica è risolta.
Solo che a farlo in pratica C viene immensamente grande e uno se ne fa poco.

Lo dico solo per conoscenza, ma non ha nessuna utilità per le olimpiadi!
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

matpro98
Messaggi: 365
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: Diofantee esponenziali

Messaggioda matpro98 » 03 gen 2017, 19:32

E olimpicamente? Solo intuito e pratica?

Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 596
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Basilea
Contatta:

Re: Diofantee esponenziali

Messaggioda FrancescoVeneziano » 03 gen 2017, 20:03

La prima cosa da fare secondo me dovrebbe essere di guardare l'equazione modulo qualche primo/potenza di primo. Questo impone delle condizioni sugli esponenti, nella forma di congruenze modulo l'ordine moltiplicativo della base.
Per usare l'esempio di jordan, $5^x+7^y=2^z$ guardata modulo 4 diventa $(-1)^y\equiv -1 \pmod 4$ ovvero y dispari.
Primi diversi danno informazioni diverse e queste si possono usare per estrarre informazione con moduli sempre più grossi. Alla fine se sei fortunato si incastrano bene e ne esce una dimostrazione. Ma questo accade di rado, più spesso ti ritrovi con una relazione modulo 81 che gli esponenti devono soddisfare e non sai che fartene.

Prova tu stesso. Prendi $3^x-2^y=5^z$ e vedi cosa riesci a dire.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

matpro98
Messaggi: 365
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: Diofantee esponenziali

Messaggioda matpro98 » 03 gen 2017, 20:17

Sempre per usare quella di jordan, si usano moduli come 43, 49, e così via... qualche informazione l'avevo trovata anche io, ma non abbastanza da concludere perché moduli come quelli non mi sono venuti in mente.
Per l'esercizio che mi hai dato, ci penserò su


Torna a “Glossario e teoria di base”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite