Dubbio sulle funzionali

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Gerald Lambeau
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Dubbio sulle funzionali

Messaggio da Gerald Lambeau » 11 ott 2016, 18:48

Se io ho una funzione $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $P(x, y)$ è un'uguaglianza che coinvolge $f$ e le variabili $x, y$ in vari modi, per ogni $x, y \in \mathbb{R}$ (insomma per capirci una classica equazione funzionale con una funzione e due incognite), e trovo che se valuto solo $x, y \in \mathbb{R^+}$ allora è una Cauchy e ho pure una delle ipotesi aggiuntive (sempre solo per $x, y \in \mathbb{R^+}$), allora vale che per ogni $x>0$ $f(x)=x \cdot f(1)$?
Vi faccio l'esempio che mi sta dando dubbi: trovare $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f(x^2+f(y))=y+f(x)^2$ per ogni $x, y \in \mathbb{R}$. Trovo senza problemi che $f$ è biettiva e che $f(0)=0$. Trovo che $f(x)^2=f(x^2)$, ragionando su questo e usando la biettività trovo che $f(x)>0 \Leftrightarrow x>0$.
Trovo $f(f(x))=x$ e, usando anche i risultati precedenti, trovo che ponendo $x^2=z>0$ e $y=f(w)>0, w>0$ per ogni $z, w \in \mathbb{R^+}$ ho che $f(z+w)=f(z)+f(w)$ per ogni $z, w \in \mathbb{R^+}$, inoltre so che $f(x)>0 \forall x \in \mathbb{R^+}$, quindi in $\mathbb{R^+}$ è limitata inferiormente. Posso dire che per $x \in \mathbb{R^+}$ $f(x)=x \cdot f(1)$?
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Re: Dubbio sulle funzionali

Messaggio da EvaristeG » 11 ott 2016, 21:57

La Cauchy si dimostra sui positivi e poi si estende perché dispari. Dunque, sui razionali, puoi dire che $f(q)=qf(1)$ per $q>0$. Per estenderla a tutti i reali non ti basta la limitazione dal basso, in quanto sui positivi puoi solo dire che se non è lineare allora il grafico è denso *nel primo quadrante*... pensaci un po'!

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Re: Dubbio sulle funzionali

Messaggio da Gerald Lambeau » 11 ott 2016, 22:27

Non voglio dimostrare che sia lineare su $\mathbb{R}$, ma solo su $\mathbb{R^+}$. Non voglio estenderla a tutti reali.
Poi la cosa del grafico denso nel primo quadrante non mi torna... Mi ricordo che nel problema A1 del PreIMO 2014 il fatto che la funzione fosse da $[0, +\infty)$ a $[0, +\infty)$ bastava come ipotesi aggiuntiva.
In sostanza: ho la mia $f$ dai reali nei reali, nei reali positivi si comporta come una Cauchy, sempre nei reali positivi vale una delle ipotesi aggiuntive della Cauchy (sempre se la frase precedente è giusta), allora si può dire che nei reali positivi (e solo nei reali positivi) è lineare?

Perché se io supponessi per assurdo che non sia lineare in $\mathbb{R^+}$, non avrei che, considerando $g:=f$ definita solo sui reali positivi, $g$ rispetta le ipotesi della Cauchy ma non è lineare, e quindi assurdo?
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Re: Dubbio sulle funzionali

Messaggio da Talete » 11 ott 2016, 22:41

Essere da $[0,+\infty)$ in sé non basta. Se provi il controesempio tipico con la base di Hamel funziona lo stesso (credo).

Se prendi i numeri della forma $a+b\sqrt{2}$ con $a$ e $b$ razionali maggiori o uguali a $0$, allora la funzione
\[f(a+b\sqrt2)=b+a\sqrt2\]
risolve la Cauchy (provare per credere).

Su tutto $\mathbb R$ ($\mathbb R^+$ anzi) il discorso non è molto diverso...

Edit: se hai una delle ipotesi aggiuntive va bene anche sui reali positivi, è $f(x)=f(1)\cdot x$
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Re: Dubbio sulle funzionali

Messaggio da Gerald Lambeau » 11 ott 2016, 22:46

Talete ha scritto:Essere da $[0,+\infty)$ in sé non basta.
Strano. Sono andato a controllare e nella soluzione a quel problema avevo usato proprio quel fatto come ipotesi aggiuntiva, e mi è stato dato per buono...
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Re: Dubbio sulle funzionali

Messaggio da EvaristeG » 11 ott 2016, 23:07

Allora, il grafico denso si dimostra usando il fatto che puoi ottenere, dati due punti del grafico $(x_1, y_1)$ e $(x_2,y_2)$ anche tutti i punti
$(qx_1+rx_2, qy_1+ry_2)$ e se $x_1/y_1\neq x_2/y_2$ allora ottieni che, al variare di $q$ e $r$ nei razionali (anche col meno!) ottieni un denso nel piano. Però se puoi usare solo i razionali positivi, ottieni solo un quadrante.... o meglio, il cono delimitato dalle semirette per l'origine e quei due punti.
Detto ciò, ci sono altre ipotesi aggiuntive che puoi dimostrare per la tua equazione e che implicano più semplicemente la linearità sui reali *positivi* (lo avevo omesso prima, ma quello intendevo).

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Re: Dubbio sulle funzionali

Messaggio da Gerald Lambeau » 11 ott 2016, 23:12

Quindi non c'è modo di farlo con la Cauchy?

E comunque ancora non ho capito perché la mia soluzione all'A1 del PreIMO 2014 venne accettata nonostante usasse la stessa ipotesi aggiuntiva :?
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Re: Dubbio sulle funzionali

Messaggio da EvaristeG » 11 ott 2016, 23:42

No, ho appena detto che ci sono altre ipotesi aggiuntive *alla Cauchy* che puoi dimostrare per la tua equazione e che implicano la linearità.
E per finire questa cosa,
$$f(x^2+f(y))=y+f(x)^2$$
vuol dire che, per $y>0$, $x^2+f(y)>x^2$ e $f(x^2+f(y))=y+f(x)^2>f(x)^2=f(x^2)$. Ora, sia $\delta>0$ e sia $w\in\mathbb{R}$ tale che $f(w)=\sqrt{\delta}$, allora $f(w^2)=f(w)^2=\delta$ e ponendo $y=w^2$ ho che $f$ è monotona sui positivi. Dunque è lineare su di essi a seguito della Cauchy.

Detto ciò, io sto parlando delle dimostrazioni "che conoscete". Perché è vero che una Cauchy dai positivi ai positivi ha solo la soluzione lineare, ma c'è un passaggio facile da fare per dirlo senza dover "invocare" altri teoremi (non) noti: una soluzione della Cauchy sui positivi si estende sempre ad una soluzione della Cauchy sui reali tutti. Dopo di che, è ovvio che se non è mai nel IV quadrante, hai vinto ed è lineare.
Il fatto che tu non abbia nominato ciò, ma solo detto "ma una volta me l'han dato per buono" (che non è un argomento valido .. meglio sarebbe "ma una volta me l'han detto in uno stage"), mi fa pensare che non lo sapessi.

Btw, visto che la densità del grafico è un bel cannone, io di solito preferisco non usarla e, se posso, ricorrere ad altri mezzi.

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Re: Dubbio sulle funzionali

Messaggio da Gerald Lambeau » 11 ott 2016, 23:55

La monotonia mi è venuta in mente appena ho fatto il logout XD.

Comunque non intendevo usare il fatto che me l'avessero dato per buono come argomentazione, volevo proprio capire perché me l'avessero dato per buono, e adesso l'ho capito! :)

Grazie mille per la disponibilità!
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