piano cartesiano e trasformazioni geometriche

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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alegh
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piano cartesiano e trasformazioni geometriche

Messaggio da alegh » 20 ago 2016, 16:16

Per semplificare i calcoli, di solito, se la costruzione proposta da un problema parte da un triangolo $\triangle ABC$ assegno ai vertici le coordinate $B(0,0)$, $C(2,0)$ e $A(a,k)$ con $a,k\in\mathbb{R}^{+}$, o a volte, a seconda della costruzione, $A(-a,k)$, $B(-2,0)$ e $C(0,0)$ con $a,k\in\mathbb{R}^{+}$. Allo stesso modo tratto ad esempio i parallelogrammi.
Analogamente, se devo considerare una circonferenza, questa la considero di raggio $1$ avente il centro nell'origine, o passante per l'origine e magari avente il centro su uno dei due assi.
Credo che in un problema io possa giustificare queste scelte dicendo che ogni altra configurazione può essere ottenuta per rotazione, omotetia o traslazione. E' effettivamente così? Sono tutte semplificazioni lecite? E nel caso tutto ciò sia corretto, in gara come posso scrivere formalmente che considero determinate coordinate senza perdita di generalità?
Grazie per qualsiasi risposta, e scusate se sono domande banali.

Gerald Lambeau
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Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32

Re: piano cartesiano e trasformazioni geometriche

Messaggio da Gerald Lambeau » 20 ago 2016, 16:46

Un modo ad esempio è scrivere "consideriamo senza perdita di generalità un riferimento cartesiano con origine in ... e avente come asse delle ascisse ... e come asse delle ordinate ... e consideriamo come unità di misura ...", dove al posto dei puntini scrivi in che punto è l'origine, come definire i due assi e quale lunghezza della configurazione consideri come unitaria.
Nel caso che hai citato come esempio verrebbe: "consideriamo senza perdita di generalità un riferimento cartesiano con origine in $B$, avente come asse delle ascisse la retta $BC$ con il punto $C$ appartenente alla semiretta positiva, l'asse delle ordinate definito di conseguenza e come unità metà della lunghezza del segmento $BC$; segue banalmente che $B=(0, 0), C=(2, 0)$, mentre $A$ può essere in qualunque altro punto, quindi le coordinate saranno $A=(a, k)$ con $a, k$ variabili.".
Questo metodo è perfettamente lecito e non ti può essere contestato: dopotutto le coordinate cartesiane, così come altri strumenti di conti in geometria, sono un riferimento che viene usato quando ci fa comodo e dove ci fa comodo, ci sono sì limitazioni da rispettare, ma i riferimenti da usare (ad esempio origine e assi in cartesiane) siamo liberissimi di sceglierli noi, e un'impostazione come quella che ti ho fatto vedere è perfettamente in regola (tipo l'angolo tra gli assi non l'ho messo a piacere, ho rispettato le limitazioni) e inequivocabile (non esistono due riferimenti diversi che corrispondono entrambi a ciò che ho scritto).
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

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