Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?

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Rho33
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Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Messaggio da Rho33 » 18 ago 2016, 18:04

In relazione all'ultimo esercizio che ho postato in Algebra sui polinomi irriducibili, mi sono posto due domande (e forse una sorta di congettura):

1)Esiste un criterio per stabilire quali polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$ sono irriducibili su $\mathbb{F}_p$ ? Tipo facendo qualche caso stupido, mi sembra di capire che $p$ deve essere generatore modulo $n$, ma non so proprio come dimostrarlo, e men che meno se sia vero :?:

2)Esiste un criterio per stabilire quali polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$ sono riducibili su $\mathbb{F}_p$ per ogni primo $p$ ? Qui ho buio assoluto, l'unico polinomio di cui sono a conoscenza è il classico $p(x)=x^4+1$ (che trovate nell'esercizio), ma niente di più (e non credo di poter nemmeno replicare la dimostrazione per qualche altro ciclotomico...)

darkcrystal
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Re: Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Messaggio da darkcrystal » 18 ago 2016, 23:49

Dunque, (1) è vero, $\Phi_n(x)$ è irriducibile modulo $p$ se e solo se $p$ genera modulo $n$. Dimostrare questo fatto è un po' fastidioso senza avere a disposizione alcuno strumento di teoria... mo' vedo se mi viene in mente un modo elementare di raccontare l'idea.

Detto questo, una risposta a (2) segue da (1). Sostengo che $\Phi_n(x)$ è riducibile modulo ogni primo $p$ se e solo se NON esiste un generatore modulo $n$. Vediamo perché.
EDIT: ho cambiato idea. Lascio la soluzione, ma in spoiler, perché mi sembra un esercizio fattibile, una volta che si sanno sia (1) che la caratterizzazione giusta...
Testo nascosto:
$\Leftarrow$ se non c'è un generatore modulo $n$, allora in particolare $p$ non è un generatore modulo $n$ e quindi $\Phi_n(x)$ si fattorizza modulo $p$
$\Rightarrow$ supponiamo per assurdo che ci sia un generatore modulo $n$, diciamo $k$. Allora senz'altro $(n,k)=1$ (altrimenti abbiamo poche speranze che $k$ generi modulo $n$), e il famoso teorema di Dirichlet ci assicura che esiste un primo $p \equiv k \pmod n$. Ma allora $p$ genera modulo $n$, e per (1) il polinomio $\Phi_n(x)$ è irriducibile modulo $p$, contraddizione.
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Re: Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Messaggio da darkcrystal » 20 ago 2016, 10:07

Guarda, ci ho pensato un po', e alla fine tutte le dimostrazioni di (1) che trovo consistono nel ricostruire (con fatica, in un linguaggio che purtroppo non è quello giusto...) la teoria dei campi finiti; a meno che non passi di qui qualcuno con una grande ispirazione, temo che per vedere la dimostrazione dovrai aspettare un corso universitario :( - ma a quel punto saprai dimostrare mooolto di più! Per esempio, tanto per curiosità: se $r$ è l'ordine di $p$ modulo $n$ (assumendo che $p$ non divida $n$), allora $\Phi_n(x)$ si fattorizza modulo $p$ come prodotto di $\displaystyle \frac{\varphi(n)}{r}$ fattori irriducibili, ognuno di grado $r$.
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Re: Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Messaggio da Rho33 » 21 ago 2016, 17:51

Innanzitutto, grazie mille per la risposta! Un po' dispiace di non essere in grado di ricavare/comprendere la dimostrazione del primo fatto (e della tua curiosità), però me ne farò una ragione :oops: (a meno che non vi sia qualcosa di almeno lontanamente olimpico che permetta di affrontarle :?: )

Uhm, non avevo pensato a sfruttare il primo punto per risolvere il secondo, ora ci penso un po' su e casomai posto ciò che ricavo! Grazie mille per le risposte :D :D

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Re: Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Messaggio da Sirio » 03 nov 2016, 20:31

Visto che siamo in questa sezione... Qualcuno cortesemente mi spiega che cos'è $\mathbb{F}_p$? Grazie mille
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Re: Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Messaggio da fph » 03 nov 2016, 23:53

L'insieme delle $p$ classi di resto modulo $p$, con le operazioni di somma e prodotto modulo $p$ (che lo rendono un campo).
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Re: Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Messaggio da Sirio » 04 nov 2016, 17:21

Quindi $\mathbb{F}_7=\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$ e $6+5=4$?
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Re: Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

Messaggio da fph » 04 nov 2016, 19:34

Sì. Poi se capita qualcuno in vena di formalismi potrebbe mettersi a discutere se quegli oggetti "sono" 1;2;3;4;5;6 o se bisognerebbe indicarli con un altro simbolo tipo $[1]$ o $\bar{1}$, ma quello che importa è come si comportano rispetto alle operazioni. :)
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