Birapporto all'infinito?
Inviato: 31 lug 2016, 18:07
Mentre cercavo qualche quaterna di punti figa che avesse un birapporto carino (magari utile), mi è venuta in mente questa:
$$(M,P_{\infty};A,B)$$
Dove $A,B$ sono due punti su una retta, $M$ è il loro punto medio e $P_{\infty}$ è un punto all'infinito sulla retta $AB$. Se io calcolo il birapporto (segmenti orientati eh!), ottengo:
$$(M,P_{\infty};A,B)= \dfrac {AM}{AP_{\infty}}: \dfrac {BM}{BP_{\infty}} \iff \dfrac {AM}{BM} \cdot \dfrac {BP_{\infty}}{AP_{\infty}}$$
Ora, io sarei molto tentato di elidere il secondo rapporto, poiché intuitivamente $P_{\infty}$ è talmente distante dai due punti, che le due lunghezze si equivalgono (?) e quindi ottenere:
$$(M,P_{\infty};A,B)=-1$$
Ovvero, una quaterna armonica, il che credo sia molto bello! Ciò che ho scritto ha senso ? In caso, come potrei dimostrare in modo rigoroso la mia affermazione molto intuitiva?
$$(M,P_{\infty};A,B)$$
Dove $A,B$ sono due punti su una retta, $M$ è il loro punto medio e $P_{\infty}$ è un punto all'infinito sulla retta $AB$. Se io calcolo il birapporto (segmenti orientati eh!), ottengo:
$$(M,P_{\infty};A,B)= \dfrac {AM}{AP_{\infty}}: \dfrac {BM}{BP_{\infty}} \iff \dfrac {AM}{BM} \cdot \dfrac {BP_{\infty}}{AP_{\infty}}$$
Ora, io sarei molto tentato di elidere il secondo rapporto, poiché intuitivamente $P_{\infty}$ è talmente distante dai due punti, che le due lunghezze si equivalgono (?) e quindi ottenere:
$$(M,P_{\infty};A,B)=-1$$
Ovvero, una quaterna armonica, il che credo sia molto bello! Ciò che ho scritto ha senso ? In caso, come potrei dimostrare in modo rigoroso la mia affermazione molto intuitiva?