Come da titolo, mi chiedevo se esiste un modo (che non coinvolga troppa teoria alle spalle) per dimostrare che un dato insieme è UFD. Quando uno lavora in qualche anello strano vorrebbe sapere subito se esso sia UFD o meno (anziché provare a trovare un controesempio, che magari richiede moltissimo tempo), ed inoltre se sia possibile dare per noto che un certo insieme non banale sia un UFD (se effettivamente lo è, ovviamente )
Un modo alla portata e comodo di verificarlo secondo me dovrebbe essere sfruttare "Anello Euclideo implica UFD" (la dimostrazione viene pari pari al teorema fondamentale dell'aritmetica mi pare, se vuoi prova a farla per esercizio, non coinvolge concetti che forse non conosci ancora tipo ideali ecc come invece sarebbe PID implica UFD). Prova un attimo a dimostrare che interi di Gauss e interi di Eisenstein sono UFD dopo aver mostrato il fatterello di prima (si tratta solo di trovare una "funzione grado" sensata)! Se invece volevi criteri più potenti, è abbastanza noto quali sono gli $\mathbb{Z}[\sqrt{\textrm{Robe}}]$ UFD utili (ma qui è meglio che risponda darcrystal )
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?