Equazione funzionale di Cauchy

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?

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alegh
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Equazione funzionale di Cauchy

Messaggioda alegh » 19 lug 2016, 05:56

Ho un dubbio sull'equazione funzionale di Cauchy: se io ho una funzione $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ che verifica
\[
f(x+y)=f(x)+f(y)
\]
tutte le soluzioni sono $f(x)=\lambda x$ con $\lambda=f(1)$.

Se ho una funzione $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ che verifica
\[
f(x+y)=f(x)+f(y)
\]
ed ho verificato una delle ipotesi bonus, tutte le soluzioni sono $f(x)=\lambda x$.

Siccome questa soluzione vale anche per tutti gli $x$ razionali, suppongo che anche in questo caso, essedo una costante, si abbia $\lambda=f(1)$.

E' corretto?

Grazie.

matpro98
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Re: Equazione funzionale di Cauchy

Messaggioda matpro98 » 19 lug 2016, 07:08

$f (x)=\lambda x \Rightarrow f (1)=\lambda \cdot 1=\lambda $

EvaristeG
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Re: Equazione funzionale di Cauchy

Messaggioda EvaristeG » 19 lug 2016, 14:47

matpro98 ha scritto:$f (x)=\lambda x \Rightarrow f (1)=\lambda \cdot 1=\lambda $

Che è un lungo modo per TeXare "Sì"


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