Numero trascendente bello

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?

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Gerald Lambeau
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Numero trascendente bello

Messaggioda Gerald Lambeau » 14 giu 2016, 16:48

Posto qui perché mi serve sapere se quanto sto per scrivere è giusto.

L'idea è di analizzare il numero $x=\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{10^{i!}}$. Mi preme sapere due cose:
(a) se è trascendente;
(b) se nella sua scrittura decimale troviamo, nelle cifre dopo la virgola, qualunque sequenza finita di cifre comprese tra $0$ e $9$ esistente.

So che esiste la costante di Champernowne che soddisfa entrambi (a) e (b) e, a essere onesti, ha una scrittura decimale decisamente più bella del numero che voglio analizzare, però la formula fa schifo, io cercavo un numero con una formula bella quindi proverò a dimostrare che l'affare che ho scritto funziona.

Testo nascosto:
Per dimostrare il punto (b) mi servirò di questo Lemma: $(n+1)!-(n+1)>n!$ per $n \ge 2$. Dimostrazione:
per $n=2$ è vero. Ora riscriviamo come $(n+1)!-n!>n+1 \Rightarrow n \cdot n!>n+1$. Passando da $n$ a $n+1$ il membro di destra aumenta di $1$ mentre quello di sinistra viene moltiplicato $(n+1)^2/n=n+2+1/n$ che è $\ge 4,5$ e quindi, dato che $n \cdot n! \ge 4$, il membro di sinistra aumenta sicuramente di più di $4>1$, e quindi il Lemma è dimostrato.

Faccio prima il punto (b): chiaramente, se ci troviamo qualunque intero troveremo anche qualunque sequenza finita di cifre, pure con eventuali zeri a sinistra (se cerchiamo $0 \dots 0 ( \dots)$ dove il numero di zeri è arbitrario e $(\dots)$ è un'arbitraria sequenza finita di cifre che non inizia per $0$, allora basta cercare il numero $10 \dots 0 ( \dots)$).
Il numero è costruito in maniera tale da aggiungere di volta in volta $\overbrace{0,0 \dots 0[i]_{10}}^{i \text{ cifre dopo la virgola}}$.
Basta dimostrare che due $i$ successivi "non si sovrappongono", cioè che la posizione come cifra dopo la virgola dell'ultima cifra di $i$ sia minore della posizione come cifra dopo la virgola della prima cifra di $i+1$.
Sapendo che $i+1 \ge k$ dove $k$ è il numero di cifre di $i+1$, allora vale $(i+1)!-k+1 > (i+1)!-(i+1)$. Ora chiaramente $(i+1)!-k+1$ è la posizione dopo la virgola della prima cifra di $i+1$, mentre l'ultima cifra di $i$ sta nella posizione $i!$. Applicando il Lemma, otteniamo la seguente catena di disuguaglianze:
$(i+1)!-k+1 > (i+1)!-(i+1)>i!$, da cui $(i+1)!-k+1 > i!$, che è quello che volevamo. Ora però noi avevamo per ipotesi del Lemma $n \ge 2$, quindi siamo apposto per $i \ge 2$. Per $i=1$ basta scrivere l'inizio del nostro numero e controllare: $0,120003\dots$, direi che ci siamo.

E adesso, il punto (a): per dimostrare che è trascendente, dimostreremo che è un numero di Liouville; dato che è stato dimostrato da Liouville stesso che i suoi numeri sono trascendenti, una volta dimostrato che il nostro numero è di Liouville avremo finito.
Useremo dunque la seguente Definizione: un numero $y$ si dice di Liouville se per ogni $n$ intero positivo esistono $p_n, q_n$ interi con $q_n>1$ tali che:
$\displaystyle 0 < \left |y-\frac{p_n}{q_n} \right |<\frac{1}{q_n^n}$.
Dato $n$, sceglieremo $q_n=10^{n!}$ e $p_n$ intero tale che $\displaystyle \frac{p_n}{q_n}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{10^{i!}}$.
Ovviamente $\displaystyle x-\frac{p_n}{q_n}=\sum_{i=n+1}^{\infty} \frac{i}{10^{i!}} > 0$ e $\displaystyle \left |x-\frac{p_n}{q_n} \right |=x-\frac{p_n}{q_n}>0$. Manca solo da dimostrare che $\displaystyle x-\frac{p_n}{q_n}< \frac{1}{q_n^n}$.
Ora, per come è stato costruito il numero e per i risultati ottenuti al punto (a) noi sappiamo che $\displaystyle x-\frac{p_n}{q_n}=0,0\dots0[n+1]_{10}0\dots$ con almeno $(n+1)!-(n+1)$ zeri dopo la virgola prima che compaia qualunque altra cifra. In particolare,
$\displaystyle x-\frac{p_n}{q_n}<\frac{1}{10^{(n+1)!-(n+1)}}$. Basta dimostrare che $\displaystyle \frac{1}{10^{(n+1)!-(n+1)}} \le \frac{1}{q_n^n}=\frac{1}{(10^{n!})^n}$ e il gioco è fatto.
Dobbiamo dunque dimostrare che $10^{n \cdot n!} \le 10^{(n+1)!-(n+1)}$, cioè che $n \cdot n! \le (n+1)!-(n+1)$.
$(n+1) \le (n+1)!-n \cdot n!=n!$. Questo si fa per induzione e vale per $n \ge 3$. Dobbiamo controllare a mano i primi casi:
$\displaystyle n=1: x-\frac{1}{10}=0,020003\dots<\frac{1}{(10)^1}$;
$\displaystyle n=2: x-\frac{12}{100}=0,000003\dots<\frac{1}{(100)^2}$.
Ne consegue che $y$ è un numero di Louville e quindi anche trascendente. Fine.


Scusate se ho scritto delle cavolate o se non mi sono spiegato benissimo, attendo conferma della validità della dimostrazione.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

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